Intercolegial 2019 N3 P2

Peznerd
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Re: Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por Peznerd » Dom 26 May, 2019 5:08 pm

Gianni De Rico escribió:
Jue 23 May, 2019 10:13 pm
Joacoini escribió:
Jue 23 May, 2019 9:33 pm
No voy a escribir mi solución porque no me dan los caracteres pero voy a dar una aclaración.

Respecto al problema
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Que $a<b<c$ no quiere decir que $a-5<b-12<c-47$ por lo que no sabes con cual comienza la sucesión aritmética y no podes asumir que $b-12$ es el segundo termino para obtener luego que $b=105$
Respecto al puntaje
Spoiler: mostrar
Escasas personas separamos en casos así que supongo de que no descartan tu solución por asumir la desigualdad, yo no tengo nada que ver con el proceso de corrección y ni se cuales van a ser los criterios para la puntuación así que lo que escribo acá no es la pura verdad
Esquema de solución (considerando los casitos)
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Fijarse que en cualquier caso, el término del medio de la progresión aritmética vale $93$.
Llamando $r$ a la razón de la progresión geométrica resulta:
Si el término del medio es $A$, nos queda $A+rA+r^2A=343$.
Si el término del medio es $B$, nos queda $\frac{B}{r}+B+rB=343\Rightarrow B+rB+r^2B=343r$.
Si el término del medio es $C$, nos queda $\frac{C}{r^2}+\frac{C}{r}+C=343\Rightarrow C+rC+r^2C=343r^2$.
En cada caso, conocés el valor de $A$, $B$ o $C$, entonces te queda una cuadrática en $r$, que podés despejar con la resolvente, y probás si alguno de los valores de $r$ es el que sirve, usando que ya conocés alguno de los valores de $A$, $B$ o $C$.
Creo que dentro de todo es una solución a la que le dan los caracteres para ser posteada.
Oh, perdón, entendí otra cosa.
Entonces no entendí cómo llegaste al razonamiento que destaqué en negrita arriba...
$3^3+4^4+3^3+5^5=3435$

Peznerd
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Re: Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por Peznerd » Dom 26 May, 2019 5:21 pm

bruno escribió:
Sab 25 May, 2019 3:11 pm
Spoiler: mostrar
Sea $x$ la cantidad de caramelos de Alex, entonces la cantidad de Bruno seria $xq$ y la cantidad de Carlos son $xq^{2}$. Donde $q$ es la razon de la P.G; la razon tiene que ser un numero positvo racional porque si no $xq$ seria negativo y tiene que ser mayor a $1$ para que la cantidad de caramelos vaya en aumento como dice el enunciado.

La cantidad de caramelos es $x+xq+xq^{2}=343$ . Entonces $x(1+q+q^{2})=343$ (*)

Ahora si cada uno se come los caramelos que dice el enunciado; Alex se queda con $x-5$; Bruno con $xq-12$ y Carlos con $xq^{2}-47$. Si esos numeros estan en P.A entonces la cantidad de caramelos de Bruno menos los de Alex es igual a la cantidad de caramelos de Carlos menos los de Bruno (me daria la razon de la P.A).Entonces

$(xq-12)-(x-5)=(xq^{2}-47)-(xq-12)$
$xq-x-7=xq^{2}-xq-35$
$28=xq^{2}-2xq+x$
$28=x(q^{2}-2q+1)$ (**)

Como se que $x$ no es $0$ entonces puedo dividir (*) entre (**) y obtengo una ecuacion en funcion de $q$

$\frac{q^{2}+q+1}{q^{2}-2q+1}=\frac{343}{28}$

$28q^{2}+28q+28=343q^{2}-686q+343$
$0=315q^{2}-714q+315$

Aplico la resolvente en esa ecuacion y obtengo los valores $q=\frac{5}{3}$ o $q=\frac{3}{5}$. Pero el segundo lo descarto pues es menor a $1$ entonces $q=\frac{5}{3}$

Despejo $x$ en la ecuacion (*) reemplazando $q$; $x=63$

Entonces Alex tenia $63$ caramelos, Bruno $105$ y Carlos $175$.
Despues de comer Alex tiene $58$, Bruno $93$ y Carlos $128$. Los numeros estan en P.A de razon $35$ como se pide
Spoiler: mostrar
Ojo, supusiste que $A-5<B-12<C-47$ tal que $A$ se la cantidad de caramelos inicial de Alex, $B$ la de Bruno y $C$ la de Carlos y eso no es necesariamente cierto. Buena resolución
$3^3+4^4+3^3+5^5=3435$

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Gianni De Rico

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Re: Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 26 May, 2019 5:36 pm

Peznerd escribió:
Dom 26 May, 2019 5:08 pm
Gianni De Rico escribió:
Jue 23 May, 2019 10:13 pm
Spoiler: mostrar
Fijarse que en cualquier caso, el término del medio de la progresión aritmética vale $93$.
Llamando $r$ a la razón de la progresión geométrica resulta:
Si el término del medio es $A$, nos queda $A+rA+r^2A=343$.
Si el término del medio es $B$, nos queda $\frac{B}{r}+B+rB=343\Rightarrow B+rB+r^2B=343r$.
Si el término del medio es $C$, nos queda $\frac{C}{r^2}+\frac{C}{r}+C=343\Rightarrow C+rC+r^2C=343r^2$.
Oh, perdón, entendí otra cosa.
Entonces no entendí cómo llegaste al razonamiento que destaqué en negrita arriba...
Spoiler: mostrar
Con "el término del medio", me refiero al de la progresión aritmética. Entonces nos queda algo así:
Si $x<y<z$ están en progresión aritmética, vale que $z=y+d$ y que $y=x+d$, donde $d$ es la diferencia de la progresión. Entonces $x=y-d$, por lo que $x+y+z=(y-d)+y+(y+d)=3y\Rightarrow y=\frac{x+y+z}{3}$.
Usando esto en el problem obtenemos que si $A-3$ es el término del medio entonces $A-3=93\Rightarrow A=96$, si $B-12$ es el término del medio entonces $B-12=93\Rightarrow B=105$, y si $C-47$ es el término del medio entonces $C-47=93\Rightarrow C=140$.
Pero como $A$, $B$ y $C$ están en progresión geométrica (y $A<B<C$), tenemos que $C=rB$ y que $B=rA$, donde $r$ es la razón de la progresión. Entonces podemos escribir cada variable en función de las otras:
Escribiendo todo en función de $A$ tenemos $A=A$, $B=rA$, $C=rB=r^2A$.
Escribiendo todo en función de $B$ tenemos $A=\frac{B}{r}$, $B=B$, $C=rB$.
Escribiendo todo en función de $C$ tenemos $A=\frac{C}{r^2}$, $B=\frac{C}{r}$, $C=C$.

Entonces según cuál fuera el término del medio, una de estas ecuaciones solamente tiene como incógnita a $r$, y multiplicando por $r$ o $r^2$ si es necesario, hacemos que todos los denominadores desaparezcan, y obtenemos una cuadrática en $r$, que podemos despejar sin problemas usando la resolvente. Entonces obtenemos la razón de la progresión, y teniendo uno de los términos, podemos obtener los otros.
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[math]

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