Intercolegial 2019 N3 P2

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Luli97

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Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por Luli97 » Jue 23 May, 2019 7:48 pm

Alex, Bruno y Carlos tienen diferentes cantidades de caramelos que en total suman $343$. Alex tiene menos que Bruno, Bruno tiene menos que Carlos, y estas cantidades están en progresión geométrica. Durante la semana, Alex come $5$ de sus caramelos, Bruno come $12$ de los suyos y Carlos come $47$ de los suyos. Resulta que las cantidades actuales de caramelos están en progresión aritmética. Determinar cuántos caramelos tenían inicialmente cada uno de los tres chicos.

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Joacoini

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Re: Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por Joacoini » Jue 23 May, 2019 9:33 pm

No voy a escribir mi solución porque no me dan los caracteres pero voy a dar una aclaración.

Respecto al problema
Spoiler: mostrar
Que $a<b<c$ no quiere decir que $a-5<b-12<c-47$ por lo que no sabes con cual comienza la sucesión aritmética y no podes asumir que $b-12$ es el segundo termino para obtener luego que $b=105$
Respecto al puntaje
Spoiler: mostrar
Escasas personas separamos en casos así que supongo de que no descartan tu solución por asumir la desigualdad, yo no tengo nada que ver con el proceso de corrección y ni se cuales van a ser los criterios para la puntuación así que lo que escribo acá no es la pura verdad
NO HAY ANÁLISIS.

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Gianni De Rico

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Re: Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 23 May, 2019 10:13 pm

Joacoini escribió:
Jue 23 May, 2019 9:33 pm
No voy a escribir mi solución porque no me dan los caracteres pero voy a dar una aclaración.

Respecto al problema
Spoiler: mostrar
Que $a<b<c$ no quiere decir que $a-5<b-12<c-47$ por lo que no sabes con cual comienza la sucesión aritmética y no podes asumir que $b-12$ es el segundo termino para obtener luego que $b=105$
Respecto al puntaje
Spoiler: mostrar
Escasas personas separamos en casos así que supongo de que no descartan tu solución por asumir la desigualdad, yo no tengo nada que ver con el proceso de corrección y ni se cuales van a ser los criterios para la puntuación así que lo que escribo acá no es la pura verdad
Esquema de solución (considerando los casitos)
Spoiler: mostrar
Fijarse que en cualquier caso, el término del medio de la progresión aritmética vale $93$.
Llamando $r$ a la razón de la progresión geométrica resulta:
Si el término del medio es $A$, nos queda $A+rA+r^2A=343$.
Si el término del medio es $B$, nos queda $\frac{B}{r}+B+rB=343\Rightarrow B+rB+r^2B=343r$.
Si el término del medio es $C$, nos queda $\frac{C}{r^2}+\frac{C}{r}+C=343\Rightarrow C+rC+r^2C=343r^2$.
En cada caso, conocés el valor de $A$, $B$ o $C$, entonces te queda una cuadrática en $r$, que podés despejar con la resolvente, y probás si alguno de los valores de $r$ es el que sirve, usando que ya conocés alguno de los valores de $A$, $B$ o $C$.
Creo que dentro de todo es una solución a la que le dan los caracteres para ser posteada.
[math]

BrunZo

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Re: Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por BrunZo » Jue 23 May, 2019 10:50 pm

Gianni De Rico escribió:
Jue 23 May, 2019 10:13 pm
Joacoini escribió:
Jue 23 May, 2019 9:33 pm
No voy a escribir mi solución porque no me dan los caracteres pero voy a dar una aclaración.

Respecto al problema
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Que $a<b<c$ no quiere decir que $a-5<b-12<c-47$ por lo que no sabes con cual comienza la sucesión aritmética y no podes asumir que $b-12$ es el segundo termino para obtener luego que $b=105$
Respecto al puntaje
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Escasas personas separamos en casos así que supongo de que no descartan tu solución por asumir la desigualdad, yo no tengo nada que ver con el proceso de corrección y ni se cuales van a ser los criterios para la puntuación así que lo que escribo acá no es la pura verdad
Esquema de solución (considerando los casitos)
Spoiler: mostrar
Fijarse que en cualquier caso, el término del medio de la progresión aritmética vale $93$.
Llamando $r$ a la razón de la progresión geométrica resulta:
Si el término del medio es $A$, nos queda $A+rA+r^2A=343$.
Si el término del medio es $B$, nos queda $\frac{B}{r}+B+rB=343\Rightarrow B+rB+r^2B=343r$.
Si el término del medio es $C$, nos queda $\frac{C}{r^2}+\frac{C}{r}+C=343\Rightarrow C+rC+r^2C=343r^2$.
En cada caso, conocés el valor de $A$, $B$ o $C$, entonces te queda una cuadrática en $r$, que podés despejar con la resolvente, y probás si alguno de los valores de $r$ es el que sirve, usando que ya conocés alguno de los valores de $A$, $B$ o $C$.
Creo que dentro de todo es una solución a la que le dan los caracteres para ser posteada.
Spoiler: mostrar
En definitiva, vos tenés los casos
$$A-5=93\lor B-12=93\lor C-47=93\Longrightarrow A=98\lor B=105\lor C=140$$
De modo que tenés que interpretar las cuadráticas:
$$-245+98r+98r^2=0\lor 105-238r+105r^2=0\lor 140+140r-203r^2=0$$
La primera tiene raíces $\frac{-1\pm\sqrt{11}}{2}$, la segunda $\frac{17\pm 8}{15}$ y la tercera $\frac{10\pm\sqrt{680}}{29}$. La primera y la tercera son irracionales así que no valen (tampoco vale la raíz $\frac{3}{5}$ de la segunda, puesto que haría que $A>B>C$), de modo que nos quedamos con la raíz $\frac{5}{3}$. Finalmente, para la segunda tenemos los valores
$$(A,B,C)=(63,105,175)$$
que están en progresión geométrica con razón $\frac{5}{3}$.

Peznerd
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Re: Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por Peznerd » Jue 23 May, 2019 11:07 pm

Gianni De Rico escribió:
Jue 23 May, 2019 10:13 pm
Joacoini escribió:
Jue 23 May, 2019 9:33 pm
No voy a escribir mi solución porque no me dan los caracteres pero voy a dar una aclaración.

Respecto al problema
Spoiler: mostrar
Que $a<b<c$ no quiere decir que $a-5<b-12<c-47$ por lo que no sabes con cual comienza la sucesión aritmética y no podes asumir que $b-12$ es el segundo termino para obtener luego que $b=105$
Respecto al puntaje
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Escasas personas separamos en casos así que supongo de que no descartan tu solución por asumir la desigualdad, yo no tengo nada que ver con el proceso de corrección y ni se cuales van a ser los criterios para la puntuación así que lo que escribo acá no es la pura verdad
Esquema de solución (considerando los casitos)
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Fijarse que en cualquier caso, el término del medio de la progresión aritmética vale $93$.
Llamando $r$ a la razón de la progresión geométrica resulta:
Si el término del medio es $A$, nos queda $A+rA+r^2A=343$.
Si el término del medio es $B$, nos queda $\frac{B}{r}+B+rB=343\Rightarrow B+rB+r^2B=343r$.
Si el término del medio es $C$, nos queda $\frac{C}{r^2}+\frac{C}{r}+C=343\Rightarrow C+rC+r^2C=343r^2$.
En cada caso, conocés el valor de $A$, $B$ o $C$, entonces te queda una cuadrática en $r$, que podés despejar con la resolvente, y probás si alguno de los valores de $r$ es el que sirve, usando que ya conocés alguno de los valores de $A$, $B$ o $C$.
Creo que dentro de todo es una solución a la que le dan los caracteres para ser posteada.
Ojo: $A<B<C$ y en la progresión geométrica el término del medio es siempre $B$, releé el enunciado.

No entendí el problema con los caracteres, ¿tan larga es la solución?
Spoiler: mostrar
No me salió el problema... me di cuenta que no necesariamente es cierto que $A-5<B-12<C-47$ y me dio que sí o sí $r$ es natural y que la única posibilidad de que esto suceda y a la vez $A<B<C$ es que $r=2$, pero en progresión aritmética me queda imposible con solamente los números $49-5=44, 98-12=86, 146-47=99$ sacando las posibles diferencias de progresión $d$.

PD: un amigo de Santa Rosa me acaba de decir que él y un profe interpretaron que los términos de la progresión aritmética no necesariamente son consecutivos... si esa es lala solución, me quiero matar por entender mal el enunciado. Pero lo comparo cuando dice que las cantidades iniciales de caramelos estaban en progresión geométrica y todos supusimos que es una progresión de tres términos[\spoiler]

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Gianni De Rico

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Re: Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 23 May, 2019 11:24 pm

Peznerd escribió:
Jue 23 May, 2019 11:07 pm
Ojo: $A<B<C$ y en la progresión geométrica el término del medio es siempre $B$, releé el enunciado.
Spoiler: mostrar
Eso es claramente así, no veo por qué suponés que no, en donde hay que decidir cuál es el término del medio es en la progresión aritmética.
[math]

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¿hola?

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Re: Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por ¿hola? » Jue 23 May, 2019 11:47 pm

BrunZo escribió:
Jue 23 May, 2019 10:50 pm
Gianni De Rico escribió:
Jue 23 May, 2019 10:13 pm
Joacoini escribió:
Jue 23 May, 2019 9:33 pm
No voy a escribir mi solución porque no me dan los caracteres pero voy a dar una aclaración.

Respecto al problema
Spoiler: mostrar
Que $a<b<c$ no quiere decir que $a-5<b-12<c-47$ por lo que no sabes con cual comienza la sucesión aritmética y no podes asumir que $b-12$ es el segundo termino para obtener luego que $b=105$
Respecto al puntaje
Spoiler: mostrar
Escasas personas separamos en casos así que supongo de que no descartan tu solución por asumir la desigualdad, yo no tengo nada que ver con el proceso de corrección y ni se cuales van a ser los criterios para la puntuación así que lo que escribo acá no es la pura verdad
Esquema de solución (considerando los casitos)
Spoiler: mostrar
Fijarse que en cualquier caso, el término del medio de la progresión aritmética vale $93$.
Llamando $r$ a la razón de la progresión geométrica resulta:
Si el término del medio es $A$, nos queda $A+rA+r^2A=343$.
Si el término del medio es $B$, nos queda $\frac{B}{r}+B+rB=343\Rightarrow B+rB+r^2B=343r$.
Si el término del medio es $C$, nos queda $\frac{C}{r^2}+\frac{C}{r}+C=343\Rightarrow C+rC+r^2C=343r^2$.
En cada caso, conocés el valor de $A$, $B$ o $C$, entonces te queda una cuadrática en $r$, que podés despejar con la resolvente, y probás si alguno de los valores de $r$ es el que sirve, usando que ya conocés alguno de los valores de $A$, $B$ o $C$.
Creo que dentro de todo es una solución a la que le dan los caracteres para ser posteada.
Spoiler: mostrar
En definitiva, vos tenés los casos
$$A-5=93\lor B-12=93\lor C-47=93\Longrightarrow A=98\lor B=105\lor C=140$$
De modo que tenés que interpretar las cuadráticas:
$$-245+98r+98r^2=0\lor 105-238r+105r^2=0\lor 140+140r-203r^2=0$$
La primera tiene raíces $\frac{-1\pm\sqrt{11}}{2}$, la segunda $\frac{17\pm 8}{15}$ y la tercera $\frac{10\pm\sqrt{680}}{29}$. La primera y la tercera son irracionales así que no valen (tampoco vale la raíz $\frac{3}{5}$ de la segunda, puesto que haría que $A>B>C$), de modo que nos quedamos con la raíz $\frac{5}{3}$. Finalmente, para la segunda tenemos los valores
$$(A,B,C)=(63,105,175)$$
que están en progresión geométrica con razón $\frac{5}{3}$.
Spoiler: mostrar
Creo que justo en este caso (porque las soluciones de la cuadrática son recíprocos $3/5$ y $5/3$) no hace falta ver la solución menor a $1$ en este caso $3/5$ ya que podría ser que $C$ sea el primer termino de progresión geométrica con razón menor a $1$ en este caso ambas progresiones son iguales si no creo que habría que ver ese caso.
Yes, he who

BrunZo

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Re: Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por BrunZo » Vie 24 May, 2019 4:59 pm

Peznerd escribió:
Jue 23 May, 2019 11:07 pm
PD: un amigo de Santa Rosa me acaba de decir que él y un profe interpretaron que los términos de la progresión aritmética no necesariamente son consecutivos...
Definitivamente no es así el problema. Si fuese así, podríamos decir que los tres números enteros $A-5$, $B-12$ y $C-47$ son términos de una progresión aritmética de razón $1$, sin importar cuales sean sus valores, lo cual rompería el problema.
¿hola? escribió:
Jue 23 May, 2019 11:47 pm
Spoiler: mostrar
Creo que justo en este caso (porque las soluciones de la cuadrática son recíprocos $3/5$ y $5/3$) no hace falta ver la solución menor a $1$ en este caso $3/5$ ya que podría ser que $C$ sea el primer termino de progresión geométrica con razón menor a $1$ en este caso ambas progresiones son iguales si no creo que habría que ver ese caso.
Spoiler: mostrar
Sí, pero fijate que el problema te dice que $A<B<C$, por lo que $C$ no puede ser el primer término (por lo que $r>1$, también).
1  

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Gianni De Rico

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Re: Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 24 May, 2019 8:47 pm

BrunZo escribió:
Vie 24 May, 2019 4:59 pm
¿hola? escribió:
Jue 23 May, 2019 11:47 pm
Spoiler: mostrar
Creo que justo en este caso (porque las soluciones de la cuadrática son recíprocos $3/5$ y $5/3$) no hace falta ver la solución menor a $1$ en este caso $3/5$ ya que podría ser que $C$ sea el primer termino de progresión geométrica con razón menor a $1$ en este caso ambas progresiones son iguales si no creo que habría que ver ese caso.
Spoiler: mostrar
Sí, pero fijate que el problema te dice que $A<B<C$, por lo que $C$ no puede ser el primer término (por lo que $r>1$, también).
Spoiler: mostrar
En realidad sí. Una progresión geométrica de razón $r$ es una sucesión definida de la siguiente forma:
Se elige arbitrariamente el primer término $a_0$, y para cada $n$ natural se tiene $a_n=a_0\cdot r^n$.
Por ejemplo, los números $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\ldots ,\frac{1}{2^n},\ldots$ están en progresión geométrica de razón $r=\frac{1}{2}$.
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bruno
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Re: Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por bruno » Sab 25 May, 2019 3:11 pm

Spoiler: mostrar
Sea $x$ la cantidad de caramelos de Alex, entonces la cantidad de Bruno seria $xq$ y la cantidad de Carlos son $xq^{2}$. Donde $q$ es la razon de la P.G; la razon tiene que ser un numero positvo racional porque si no $xq$ seria negativo y tiene que ser mayor a $1$ para que la cantidad de caramelos vaya en aumento como dice el enunciado.

La cantidad de caramelos es $x+xq+xq^{2}=343$ . Entonces $x(1+q+q^{2})=343$ (*)

Ahora si cada uno se come los caramelos que dice el enunciado; Alex se queda con $x-5$; Bruno con $xq-12$ y Carlos con $xq^{2}-47$. Si esos numeros estan en P.A entonces la cantidad de caramelos de Bruno menos los de Alex es igual a la cantidad de caramelos de Carlos menos los de Bruno (me daria la razon de la P.A).Entonces

$(xq-12)-(x-5)=(xq^{2}-47)-(xq-12)$
$xq-x-7=xq^{2}-xq-35$
$28=xq^{2}-2xq+x$
$28=x(q^{2}-2q+1)$ (**)

Como se que $x$ no es $0$ entonces puedo dividir (*) entre (**) y obtengo una ecuacion en funcion de $q$

$\frac{q^{2}+q+1}{q^{2}-2q+1}=\frac{343}{28}$

$28q^{2}+28q+28=343q^{2}-686q+343$
$0=315q^{2}-714q+315$

Aplico la resolvente en esa ecuacion y obtengo los valores $q=\frac{5}{3}$ o $q=\frac{3}{5}$. Pero el segundo lo descarto pues es menor a $1$ entonces $q=\frac{5}{3}$

Despejo $x$ en la ecuacion (*) reemplazando $q$; $x=63$

Entonces Alex tenia $63$ caramelos, Bruno $105$ y Carlos $175$.
Despues de comer Alex tiene $58$, Bruno $93$ y Carlos $128$. Los numeros estan en P.A de razon $35$ como se pide
1  

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