Intercolegial 2019 N3 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Luli97

OFO - Mención OFO - Medalla de Bronce OFO - Jurado FOFO Pascua 2019 - Jurado FOFO 7 años - Jurado
FOFO 8 años - Jurado
Mensajes: 75
Registrado: Mar 16 Abr, 2013 8:23 pm
Medallas: 9
Nivel: Exolímpico

Intercolegial 2019 N3 P1

Mensaje sin leer por Luli97 » Jue 23 May, 2019 7:44 pm

Matías debe elegir tres números enteros distintos entre $1$ y $20$ inclusive, dados en cualquier orden y tales que la multiplicación de los tres números sea múltiplo de $4$. Determinar de cuántas maneras puede hacer su elección.

FranBotta
Mensajes: 1
Registrado: Lun 29 Abr, 2019 9:57 pm
Nivel: 3

Re: Intercolegial 2019 N3 P1

Mensaje sin leer por FranBotta » Jue 23 May, 2019 8:30 pm

Yo llegue al resultado de 2010, tras hacer:

18.19.5=1710
el 5 son la cantidad de múltiplos de 4 de 1 al 20

18.5.4= 310
Y acá multiplique los números pares que quedaban entre si ya que cualquier multiplicación de números pares tiene como común divisor el 4
1710+310=2010

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 1042
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 2
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Intercolegial 2019 N3 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 23 May, 2019 9:07 pm

Hay varias elecciones que estás contando dos veces
FranBotta escribió:
Jue 23 May, 2019 8:30 pm
18.19.5=1710
el 5 son la cantidad de múltiplos de 4 de 1 al 20
Acá está contando, por ejemplo, la elección $2,4,6$. Tiene un múltiplo de $4$ (el mismo $4$), y dos números cualesquiera (el $2$ y el $6$).
FranBotta escribió:
Jue 23 May, 2019 8:30 pm
18.5.4= 310
Y acá multiplique los números pares que quedaban entre si ya que cualquier multiplicación de números pares tiene como común divisor el 4
Y acá también estás contando $2,4,6$. Tiene dos números pares no múltiplos de $4$ (el $2$ y el $6$), y un número cualquiera (el $4$).

Además, habría que aclarar si considerás que importa (o no) el orden en el que Matías elige los números, porque el enunciado es bastante ambiguo.
3  
[math]

Peznerd
Mensajes: 42
Registrado: Jue 07 Jul, 2016 1:04 pm
Nivel: 3
Contactar:

Re: Intercolegial 2019 N3 P1

Mensaje sin leer por Peznerd » Jue 23 May, 2019 9:55 pm

Gianni De Rico escribió:
Jue 23 May, 2019 9:07 pm
Además, habría que aclarar si considerás que importa (o no) el orden en el que Matías elige los números, porque el enunciado es bastante ambiguo.
Te parece que es ambiguo? Para mí fue claro que como su elección es en "cualquier orden" entonces se toma cualesquiera los órdenes que sean posibles, es decir que no importe el orden. Si seleccionamos $1,4,15$ ó $15,4,1$ ó $1,15,4$ estamos seleccionando los números en cualquier orden.

Esto es lo que me dio:
Spoiler: mostrar
Para la elección de Mati, no entran todos los elementos, no importa el orden y no se repiten los elementos. Hacemos combinaciones y tenemos que hay $1140$ elecciones posibles de los $20$ números tomados de $3$ en $3$. Ahora notamos que hay cuatro casos posibles de elecciones:

Caso $1$: impar, impar, impar.
Caso $2$: impar, impar, par.
Caso $3$: impar, par, par.
Caso $4$: par, par, par.

Si prestamos atención, es claro que siempre el producto de los números del Caso $3$ y el de los números del Caso $4 $ es múltiplo de $4$ porque aparece el $2$ como factor al menos dos veces.
Ahora, ¿cuántos son las elecciones posibles del Caso $1$? Hacemos combinaciones teniendo en cuenta que hay $10$ impares entre $1$ y $20$ inclusive y tomaremos elementos de $3$ en $3$, nos da $120$.
¿Cuántas son las elecciones posibles del Caso $2$? Fácil, podemos elegir entre $10$ impares y $5$ múltiplos de $4$ (ya que si los pares no lo son, no tienen a $2^2$ como factor el cual nunca lo puede aportar un impar al producto final). Hacemos el producto entre $5$, y las combinaciones de los $10$ impares tomados de $2$ en $2$ igual a $45$. La respuesta a la pregunta al inicio del párrafo es $5·45 =225$. Si queremos saber cuántas combinaciones no corresponden con las posibles elecciones de Mati en este Caso, coincide con las que sí corresponden porque también hay $5$ pares no múltiplos de $4$ entre $1$ y $20$ inclusive.
La respuesta del problema es el total de combinaciones que se pueden hacer de $ 20 $ elementos tomados de $3$ en $3$ menos todas las combinaciones del Caso $1$ y la mitad de las del Caso $2$. Tenemos $1140-120-225=795$ y estamos.

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 1042
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 2
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Intercolegial 2019 N3 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 23 May, 2019 10:02 pm

Peznerd escribió:
Jue 23 May, 2019 9:55 pm
Te parece que es ambiguo? Para mí fue claro que como su elección es en "cualquier orden" entonces se toma cualesquiera los órdenes que sean posibles, es decir que no importe el orden. Si seleccionamos $1,4,15$ ó $15,4,1$ ó $1,15,4$ estamos seleccionando los números en cualquier orden.
En mi opinión, esa es la interpretación más lógica, pero hay que reconocer que podría interpretarse, como en la otra solución, que las elecciones $1,4,15$ y $15,4,1$ son distintas. De todas formas, el resultado cuando importa el orden se obtiene multiplicando por $3!$ el resultado cuando no importa el orden, así que en escencia es lo mismo.
1  
[math]

bruno
Mensajes: 216
Registrado: Vie 17 Dic, 2010 12:50 am

Re: Intercolegial 2019 N3 P1

Mensaje sin leer por bruno » Sab 25 May, 2019 2:36 pm

Bueno, el problema ya lo hicieron y ahi decian que no importa el orden, asi que aca sera lo mismo http://www.oma.org.ar/enunciados/oma21reg.htm

Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata FOFO 8 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro FOFO Pascua 2019 - Medalla
Mensajes: 170
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 4
Nivel: 2
Ubicación: Ciudad Gotica

Re: Intercolegial 2019 N3 P1

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 25 May, 2019 4:33 pm

bruno escribió:
Sab 25 May, 2019 2:36 pm
Bueno, el problema ya lo hicieron y ahi decian que no importa el orden, asi que aca sera lo mismo http://www.oma.org.ar/enunciados/oma21reg.htm
Primero, acá dice Matías y no Nico.
Segundo, que en un problema que ya han tomado diga algo no significa que aplica para este, como dijo Gianni el enunciado da lugar a que te confundas, el de la prueba que pusiste está mejor escrito no veo el porque no lo pusieron igual.
NO HAY ANÁLISIS.

Avatar de Usuario
Turko Arias

Colaborador OFO - Medalla de Plata OFO - Medalla de Oro FOFO Pascua 2019 - Medalla
Mensajes: 298
Registrado: Lun 28 Nov, 2011 11:39 am
Medallas: 4
Nivel: Ñandú
Ubicación: La Plata, Provincia de Buenos Aires

Re: Intercolegial 2019 N3 P1

Mensaje sin leer por Turko Arias » Dom 26 May, 2019 5:01 pm

La presentación de los problemas este año fue, de mínimo, controversial por varios motivos:
- El problema 1 de N3 no especificaba si importaba el orden o no, y no me pareció (y sobre todo, por lo que hablamos acá en La Plata en las sedes que tomamos) no le pareció a los participantes "casuales" de olimpíadas tan evidente esa interpretación. Es más, en varios problemas se hace la aclaración de que el orden importa o no importa. Por lo que me parece que estaría bueno que los criterios de correción sea a escala. ¿A que me refiero con esto? La mayoría de las veces los criterios de los problemas de combinatoria vienen por rangos, es decir algo del estilo:
La respuesta del problema es $45$ posibilidades. Si puso las $45$ obtiene $1$, si puso entre $40$ y $44$ obtiene $1-$, si puso entre $35$ y $39$ obtiene $1--$, es decir el margen de error cuantifica cuanto puede faltar para obtener cada puntaje. A mi entender, en este caso, se podría separar por interpretación, porque si en la interpretación sin importar el orden te falta un caso, eso se traduce en que en la interpretación en la que importa el orden te falten seis casos, por lo tanto, no es lo mismo que te falten $30$ en la primera interpretación, que que falten $30$ en la segunda interpretación.

- En algunas sedes, el problema 3 de N1 les fue entregado a los chicos impreso SIN INCLUIR LA CUADRICULA DE FONDO, cosa que dificultaba la resolución y que en varios casos hacía que los chicos tengan que recurrir a métodos como cuadricular ellos asumiendo que las medidas eran todas enteras, o cosas de esa índole, que claramente es una desventaja ante el que ya recibía el problema cuadriculado.

-El problema 2 de N3 me pareció de una dificultad intergaláctica si se lo analiza en el contexto de un intercolegial. Más aún, se agregó la dificultad de que no se aclaró que era una progresión aritmética o que era una progresión geométrica, que se suele aclarar incluso en instancias más avanzadas (regionales, por ejemplo), como las siguientes veces que se tomó el tema y si se aclaró:
-Problema 3 N3 Provincial OMA 1996
Problema 1 N3 Provincial OMA 2012
Problema 1 N3 Regional OMA 2012
Problema 2 N3 Zonal OMA 1995
Problema 1 N3 Zonal OMA 2011
Problema 2 N3 Zonal OMA 2012
Problema 1 N3 Intercolegial OMA 2010
Problema 1 N3 Intercolegial OMA 2013
Problema 2 N3 Intercolegial OMA 2016

Incluso en algunas se hacen aclaraciones del tipo "recordar que la diferencia de una progresión aritmética no necesariamente es positiva" o "recordar que la razón de una progresión geométrica no necesariamente es entera".

Teniendo en cuenta que en casos como en Problema 1 N3 Intercolegial OMA 2016 se aclara hasta que es un cuadrado perfecto, me parece completamente normal esperar que se explique este concepto y no que se lo de por sabido. Una lástima porque muchos participantes N3 de acá (La Plata) que no se entrenan pero son participantes usuales de los provinciales salieron muy frustrados porque no sabían resolver el problema por no conocer las definiciones.
5  

Avatar de Usuario
Turko Arias

Colaborador OFO - Medalla de Plata OFO - Medalla de Oro FOFO Pascua 2019 - Medalla
Mensajes: 298
Registrado: Lun 28 Nov, 2011 11:39 am
Medallas: 4
Nivel: Ñandú
Ubicación: La Plata, Provincia de Buenos Aires

Re: Intercolegial 2019 N3 P1

Mensaje sin leer por Turko Arias » Dom 26 May, 2019 5:21 pm

Bueno, y un poco de matemática en el medio de tanto forobardo siempre viene bien :mrgreen:
Una solución parecida a la de arriba, pero haciendo bastante foco en resaltar la idea de fondo. La subo porque el enfoque es copado, y para marcar que esta idea se utiliza muchas veces en este tipo de problemas, y que está bueno tenerla como opción.
(Lo voy a resolver con la interpretación de que no importa el orden)
Spoiler: mostrar
En lugar de calcular cuantas de nuestras elecciones posibles cumplen que su producto es múltiplo de cuatro, vamos a calcular la cantidad total de elecciones posibles y a restarles las que no son múltiplo de cuatro.
Por un lado, tenemos $20$ elementos y queremos elegir $3$, esto se puede elegir de $\binom{20}{3}$ maneras.
Ahora bien, una de las maneras de que nuestro producto no sea múltiplo de cuatro es elegir los tres números impares, como en total hay diez, esto se puede hacer de $\binom{10}{3}$ maneras.
La otra manera de que nuestro producto no sea múltiplo de cuatro es elegir dos impares (de un total de diez) y un par que no sea múltiplo de cuatro (que son en total cinco), esto se puede hacer de $\binom{10}{2}\binom{5}{1}$.
Restando ambas cosas al total obtenemos:
$\binom{20}{3}-\binom{10}{3}-\binom{10}{2}\binom{5}{1}=795$ :o :shock:
La idea esa es bastante fiesta, dejo otro problema que sale usando la misma idea por si a alguno le pinta probar aplicarla:
Spoiler: mostrar
Problema 1 N2 Torneo Pampero Argentino 2011
1  

Juan_Liendo_NSH
Mensajes: 1
Registrado: Mar 28 May, 2019 10:04 pm
Nivel: 2

Re: Intercolegial 2019 N3 P1

Mensaje sin leer por Juan_Liendo_NSH » Mar 28 May, 2019 10:55 pm

Mi respuesta (soy un nivel 2 que hizo el examen x ocio)
Spoiler: mostrar
Agrupé los números del 1 al 20 en 3 tipos.
M= Múltiplos de 4 (4-8-12-16-20)
P= otros números pares (2-6-10-14-18)
I= Impares (1-3-5-7-9-11-13-15-17-19)
Todos estos forman parte de un conjunto T

Entonces hice 3 casos
A) cuando hay
M×(T-1)×(T-2)
5×19×18=1710

B) cuando hay
P×(P-1)×I
5×4×10=200

C)cuando hay
P×(P-1)×(P-2)
5×4×3=60

La suma de los 3 casos me da 1970

Responder