Intercolegial 2019 - N2 P1

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Gianni De Rico

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Intercolegial 2019 - N2 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 23 May, 2019 7:41 pm

Julián tenía un tablero de $3\times 3$ con un $0$ escrito en cada casilla y le aplicó repetidas veces la siguiente operación: cada vez, eligió un cuadrado de $2\times 2$ que cubriera exactamente cuatro casillas adyacentes del tablero y le sumó $1$ a cada uno de los cuatro números de las cuatro casillas. Al cabo de $100$ operaciones obtuvo el tablero:$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
15 & a & 29 \\
\hline
b & c & d \\
\hline
40 & e & f \\
\hline
\end{array}$$Dar los valores de $a,b,c,d,e,f$.
Queda Elegantemente Demostrado

BrunZo

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Re: Intercolegial 2019 - N2 P1

Mensaje sin leer por BrunZo » Jue 23 May, 2019 9:58 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Notemos, primero, que cualquier subtablero contiene a exactamente una esquina, luego $f=100-15-29-40=16$.
Similarmente, cualquier subtablero que contenga un borde, contiene a una de las esquinas adyacentes a él, luego $a=15+29=44$, $b=15+40=55$, $d=29+16=45$, $e=56$.
Finalmente, cada subtablero contiene al centro, de modo que $c=100$.
Resumiendo,
$$(a,b,c,d,e,f)=(44,55,100,45,56,16)$$

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