Intercolegial 2019 N1 P1

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Luli97

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Intercolegial 2019 N1 P1

Mensaje sin leer por Luli97 » Jue 23 May, 2019 7:22 pm

En una academia de baile todos los alumnos practican danzas. Este año se observó que exactamente $\frac{7}{10}$ de los alumnos se inscribieron en tango y exactamente $\frac{5}{9}$ de los alumnos se inscribieron en chamamé.
Si la academia tienen en total entre $100$ y $200$ alumnos, determinar la cantidad total de alumnos y cuántos de ellos se inscribieron en los dos ritmos, tango y chamamé.

Peznerd
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Re: Intercolegial 2019 N1 P1

Mensaje sin leer por Peznerd » Jue 23 May, 2019 8:26 pm

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Notemos que para multiplicar un entero positivo por una fracción, podemos dividir la tarea en dos pasos: primero multiplicamos el entero positivo por el numerador de la fracción (el número de la parte de arriba de la fracción) y luego dividimos ese resultado por el denominador (la parte de abajo de la fracción).
Es bien sabido que cuando multiplicamos dos números, la factorización del producto (el resultado de la multiplicación) es igual al producto de las factorizaciones de los dos números originales una vez sumados los exponentes con las mismas bases (así: $5^2 ·5^3=5^{2+3}= 5^5$)
Bien, tomando esto, si la cantidad de todos los alumnos de la academia $k$ baila será multiplicada por $7$ y luego dividida por $10$ para averiguar la cantidad que se incribieron en tango, $k$ si y sólo si es múltiplo de $10$ porque nótese que, cuando multiplicamos $k$ por $7$ no agregamos ningún factor de $10$ (que son $5$ y $2$) porque la factorización de $7$ no los tiene.
Ahora, para saber cuántos se inscribieron en chamamé hacemos $\frac{k·5}{9}$ y vemos que $5$ no aporta ningún factor de $9$ (el único es $3$ porque su factorización es $3^2$). Entonces $k$ es múltiplo de $9$.
Hacemos MCM de $ 9 $ y $10$ que denotamos $[9,10]$ y nos queda:
$$[9,10] = 3^2·2·5 = 90$$
Por enunciado, $100>k>200$ y si $k$ es múltiplo de $90$ por MCM, entonces $k=180$ ya que si sumamos i restamos $90$ nos pasamos.
Ahora tenemos que $180·\frac{7}{10}=126$ alumnos se inscribieron en tango y $180·\frac{5}{9}=100$ alumnos se inscribieron en chamamé. Si todos los alumnos bailan, entonces todos los alumnos menos los que se incribieron en tango nos da los que hacen solamente chamamé, que son $180-126=54$ y todos los alumnos menos los que se inscribieron en chamamé nos da los que sólo hacen tango, que son $180-100=80$.
Así, los que se incribieron en los dos ritmos son el total menos los que sólo hacen chamamé y los que hacen sólo tango. Estos son $180-54-80=46$
Avisen si me confundí en algo :mrgreen:
$3^3+4^4+3^3+5^5=3435$

bruno
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Re: Intercolegial 2019 N1 P1

Mensaje sin leer por bruno » Sab 25 May, 2019 2:22 pm

Spoiler: mostrar
Agrupo a los alumnos en grupos disjuntos para que no halla problema con contar $2$ veces al mismo alumno:
$X$: alumnos que solo se inscribieron a tango
$Y$: alumnos que solo se inscribieron a chamame
$Z$: alumnos que se inscribieron a ambas

Sea $T$ el total de alumnos. Entonces se sabe que $T=X+Y+Z$ porque dicen que todos los alumnos estan inscriptos en algun baile (no hay alumnos que no se hayan inscripto en ninguno de los $2$)

Ahora el total de alumnos que bailan tango son $X+Z$. Pero por lo anterior se sabe que tambien se puede escribir como $X+Z=T-Y$
Del mismo modo, los alumnos que bailan chamame son $Y+Z$ ; pero tambien se puede escribir como $Y+Z=T-X$

Los datos dicen que los que bailan tango son $\frac{7}{10}$ del total ; entonces $\frac{7}{10}T=T-Y$. Despejo $Y$ y obtengo $Y=\frac{3}{10}T$

Del mismo moo, los que bailan chamame son $\frac{5}{9}$ del total ; entonces $\frac{5}{9}T=T-X$. Despejo $X$ y obtengo $X=\frac{4}{9}T$

Tengo $X$ e $Y$ en funcion de $T$. Como $X$ e $Y$ son enteros, entonces $T$ tiene que ser multiplo de $10$ y de $9$. Y como $9$ y $10$ son coprimos, entonces $T$ es multiplo de $90$. El unico multiplo de $90$ entre $100$ y $200$ es $180$, por lo tanto $T=180$

Entonces en total son $180$ alumnos , de los cuales $X=\frac{4}{9} 180=80$ practican solo tango, $Y=\frac{3}{10} 180=54$ practican solo chamame y los que practican ambos son $Z=T-X-Y=180-80-54=46$

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