FOFO de Pascua 2019 Problema D: La séptima maravilla del mundo

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Luli97

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FOFO de Pascua 2019 Problema D: La séptima maravilla del mundo

Mensaje sin leer por Luli97 » Mié 17 Abr, 2019 11:59 pm

Decimos que un entero positivo $n$ es pascual si es divisible por la suma de sus dígitos, pero no es divisible ni por $3$ ni por $10$. De esta forma, los primeros $6$ enteros positivos pascuales son $1$, $2$, $4$, $5$, $7$ y $8$. Determinar el séptimo entero positivo pascual.

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Luli97

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Re: FOFO de Pascua 2019 Problema D: La séptima maravilla del mundo

Mensaje sin leer por Luli97 » Dom 21 Abr, 2019 11:36 pm

Aquí vamos a publicar la solución oficial.

BrunZo

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Re: FOFO de Pascua 2019 Problema D: La séptima maravilla del mundo

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 22 Abr, 2019 3:22 pm

Solución.
Spoiler: mostrar
Es claro que ningún otro número de un dígito es pascual.
Veamos los números de dos dígitos: Sabemos que el número $\overline{ab}$ es pascual si $a+b\mid 10a+b\Longleftrightarrow a+b\mid 9a$.
Sabemos que $3\not\mid \overline{ab}\Longleftrightarrow 3\not\mid a+b$, luego un número pascual deberá cumplir $a+b\mid a$. Ahora, esto es imposible excepto que $b=0$, lo cual contradice al enunciado. Por esto, ningún número de dos dígitos es pascual.
Es claro que los números $101$, $103$, $104$, $106$, $107$, $109$ no son pascuales, pero $112$ sí. Entonces, $112$ es el séptimo número pascual y la séptima maravilla del mundo.

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