FOFO de Pascua 2019 Problema F: Se alinearon los planetas

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MateoCV

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FOFO de Pascua 2019 Problema F: Se alinearon los planetas

Mensaje sin leer por MateoCV » Mié 17 Abr, 2019 11:59 pm

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sea $O$ el centro de su circunferencia circunscrita $\omega$. La altura correspondiente al vértice $A$ corta al segmento $BC$ en $D$. Sea $E$ el segundo punto de intersección de $AD$ con $\omega$. Sean $X, Y, Z$ los puntos medios de los segmentos $BE, OD$ y $AC$ respectivamente. Demostrar que $X, Y, Z$ están alineados.
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MateoCV

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Re: FOFO de Pascua 2019 Problema F: Se alinearon los planetas

Mensaje sin leer por MateoCV » Dom 21 Abr, 2019 11:36 pm

Aquí vamos a publicar la solución oficial.
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Turko Arias

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Re: FOFO de Pascua 2019 Problema F: Se alinearon los planetas

Mensaje sin leer por Turko Arias » Lun 22 Abr, 2019 2:38 pm

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Sea $G$ la intersección de $AO$ y $\omega$. Es una propiedad conocida que si $H$ es el ortocentro de $ABC$, su reflexión por $BC$ cae sobre $\omega$, y en este caso resulta ser $E$, por otro lado, también es conocido que si reflejamos $H$ por el punto medio de $BC$, el punto resultante también cae sobre $\omega$, y además, la recta que une dicho punto con el vértice $A$ resulta ser diametro de $\omega$, por lo que $G$ resulta ser la reflexión de $H$ por el punto medio de $BC$. Por propiedades de la reflexión de un punto respecto de una recta, tenemos que $BH=BE$. Por otro lado, si $M$ es el punto medio de $BC$, como $HM=GM$ y $BM+CM$ entonces las diagonales del cuadrilatero $BHCG$ se cortan a la mitad, por lo que es un paralelogramo, y por ende $CG=BH=BE$.
Ahora bien, como $BE$ y $CG$ son cuerdas iguales sobre una misma circunferencia, tenemos que $\angle CEG= \angle ECB$, y por ende $EG//BC$, luego $BCGE$ es un trapecio isósceles, y por ende, $\angle BCG= \angle CBE$.
Miramos ahora el triángulo $ACG$, como $Z$ es punto medio de $AC$ y $O$ es punto medio de $AG$ tenemos que $OZ$ es base media y por ende $OZ//CG$ y además, si $CG=2x$, $OZ=x$.
Miramos ahora el triángulo $BDE$, como es rectángulo en $D$ y $X$ es punto medio de $BE$ entonces $DX$ es mediana correspondiente a la hipotenusa, y tenemos que $DX=BX=EX$, pero como $BE=CG$ tenemos que $DX=x$. Además, como el triángulo $BDX$ es isósceles, concluímos que $\angle BDX= \angle DBX= \angle BCG$, y nos queda que $DX//CG$.
Combinando ambas cosas tenemos que $DX=OZ=x$ y que $DX=OZ$, por lo que $DZOX$ es un paralelogramo. Como $OD$ es una diagonal del paralelogramo, la diagonal $XZ$ tiene que pasar por su punto medio, que es $Y$, luego $Y$ pertenece a la recta $XZ$ y estamos.
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BrunZo

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Re: FOFO de Pascua 2019 Problema F: Se alinearon los planetas

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 22 Abr, 2019 3:27 pm

Solución:
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Veamos que $ABEC$ es un cuadrilátero cíclico con diagonales perpendiculares.
Es claro que $OX$ es mediatriz de $BE$. Además, por teorema de Brahmagupta, $YD$ es perpendicular a $BE$. Luego $OX$ y $DY$ son paralelas. Análogamente, $OY$ y $DX$ son paralelas.
De este modo, $DXOY$ es un paralelogramo, por lo que su diagonal $XY$ pasa por el punto medio de su otra diagonal $DO$, que es $Z$. Con esto se concluye que $X$, $Y$, $Z$ son colineales.
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Monazo

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Re: FOFO de Pascua 2019 Problema F: Se alinearon los planetas

Mensaje sin leer por Monazo » Mar 23 Abr, 2019 8:37 pm

Hint
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Simetría Central

https://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f ... 693#p20693
Solución
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Captura de pantalla 2019-04-24 a la(s) 11.04.32.png
Sea $X'$ el simétrico de $X$ respecto de $Y$. Vamos a demostrar que $X'$ no es nada más ni nada menos que el punto $Z$.
Por propiedades de reflexión: $XY=X'Y$ (y es claro que $X$, $Y$ y $X'$ son colineales). También sabemos por enunciado que $OY=YD$, por lo que $XOX'D$ es un paralelogramo.
Sea $G$ la intersección de la recta $XD$ con $BC$. Dado que $X$ es punto medio de $AE$, por mediana correspondiente a hipotenusa tenemos que $AX=XE=XD$. Luego notemos que $\angle AED=\angle XDE=\angle 90-ADX$.
Por arco capaz $\angle AEC=\angle ABC$.
Por opuesto por el vértice, $\angle ADX=\angle BDG$. Pero entonces tenemos que $\angle BDG + \angle DBG = 90$ por lo que $DGB=90$.
Pero recordemos que $XD \parallel OX'$, por lo que $\angle OX'B=90$. Dado que $\angle OX'B=90$ y $OD'$ pasa por el circuncentro, es mediatriz, lo que implica que $X'$ es el punto medio de $BC$, y corresponde con el punto $Z$.

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