A lo largo de toda la solución vamos a trabajar con la desigualdad triangular, que nos dice que si $a$ y $b$ son números reales, entonces $|a+b| \leq |a|+|b|$. Por otro lado, también vamos a utilizar el hecho de que $|ab|=|a||b|$.
Primero, supongamos sin pérdida de generalidad que $|a| \leq |b| \leq |c|$ $(0)$. Si $a=0$ nos queda $0=b^2c+bc^2=bc(b+c)$. Luego, puede pasar que $b=0$ y $c$ sea cualquier real, (que $c=0$ y $b$ sea cualquier real no porque ya habíamos asumido un orden entre los valores absolutos), o que (si ambos son distintos de cero) $b+c=0$, de donde $c=-b$ con $b$ real. Tenemos entonces que las ternas $(0,0,0)$, $(0,0,a)$ con $a$ cualquier real (y todas sus permutaciones), y $(0, a, -a)$ con $a$ cualquier real (y todas sus permutaciones) funcionan.
Supongamos ahora que $a \neq 0$, $b \neq 0$ y $c \neq 0$.
Considerando la primer y la segunda igualdad del enunciado tenemos:
$a^2b+ab^2=b^2c+bc^2$, dividiendo ambas partes por $b$ nos queda $a^2+ab=c^2+bc$ $(1)$
Considerando la segunda y la tercera igualdad del enunciado tenemos:
$b^2c+bc^2=c^2a+ca^2$, dividiendo ambas partes por $c$ nos queda $b^2+bc=a^2+ac$ $(2)$
Considerando la primer y la tercera igualdad del enunciado tenemos:
$a^2b+ab^2=c^2a+ca^2$, dividiendo ambas partes por $a$ nos queda $b^2+ab=c^2+ac$ $(3)$.
Aplicando valor absoluto en ambos lados de la igualdad de $(1)$ y sacando factor común, nos queda:
$|a||a+b|=|c||b+c|$
Si $|a|=|c|$, por $(0)$ tenemos también que $|a|=|b|=|c|$. Si $a=-b$ entonces $|a+b|=0$, con lo que $|c||b+c|=0$, pero como habíamos asumido que ninguno era $0$, tenemos que $b+c=0$, con lo que $c=-b$ y tenemos que $a=c$. Pero ahora aplicando valor absoluto a ambos lados de $(2)$ nos queda $|b||b+c|=|a||a+c|$, pero ni $|a|$ ni $|a+c|$ son $0$, absurdo. Ahora $a=b$, entonces $|a||2a|=|c||b+c|$, pero el lado izquierdo claramente es distinto de cero, por lo que el lado derecho debe serlo, y en particular $|b+c|$ es distinto de cero, con lo que $b=c$, y tenemos entonces $a=b=c$. Luego, las ternas $(a,a,a)$ con $a$ real funcionan.
Supongamos ahora entonces que $|a|<|c|$. Supongamos que $b$ y $c$ tienen el mismo signo, tenemos entonces que $|b+c|=|b|+|c|$, tenemos entonces por desigualdad triangular que $|a||a+b| \leq |a|(|a|+|b|) < |a|(|b|+|c|) < |c|(|b|+|c|)=|c||b+c|$ absurdo, luego $b$ y $c$ tienen signo opuesto. Supongamos ahora que $a$ y $c$ tienen el mismo signo, luego, $a$ y $b$ tienen signo opuesto. Aplicando valor absoluto a ambos lados de $(3)$ nos queda que $|b||a+b|=|c||a+c|$, pero tenemos datos sobre los signos, combinando eso con $(0)$ nos queda $|a+b|=|b|-|a|$ y $|a+c|=|a|+|c|$. Operando en $(3)$ ahora tenemos $|b||a+b|=|b|(|b|-|a|) \leq |c|(|b|-|a|) < |c|(|a|+|c|)=|c||a+c|$ absurdo, porque teníamos una igualdad, luego $a$ y $c$ tienen distinto signo.
Ahora, combinando ambos datos, tenemos que $a$ y $b$ tienen el mismo signo, y tienen signo opuesto a $c$, por lo que $|b+c|=|c|-|b|$ y $|a+c|=|c|-|a|$. Aplicamos ahora valor absoluto a ambos lados en $(2)$ y nos queda $|b||b+c|=|a||a+c|$. Tenemos $|b|(|c|-|b|)=|b||b+c|=|a||a+c|=|a|(|c|-|a|)$. Vamos a operar ahora con $|b|(|c|-|b|)=|a|(|c|-|a|)$, desarrollando queda $|bc|-|b|^2=|ac|-|a|^2$, que reacomodando queda $|b|^2-|a|^2=|bc|-|ac|$ y factorizando ambos lados tenemos $(|b|+|a|)(|b|-|a|)=|c|(|b|-|a|).$ Si $|b| \neq |a|$ entonces podemos cancelar y nos queda $|b|+|a|=|c|$, pero sabíamos ademas que tienen signo opuesto, por lo que $c=-a-b$. Reemplazamos en las igualdades del enunciado y concluímos que la terna de reales $(a,b,-a-b)$ con $a$ y $b$ reales distintos, pero con el mismo signo (y todas sus permutaciones) funciona.
Ahora supongamos que $|a|=|b|$. Ya habíamos visto que tienen el mismo signo, por lo que $a=b$, y ambos tienen signo opuesto a $c$, por lo que $|b+c|=|c|-|b|=|c|-|a|$. Nos trasladamos a $(1)$ y aplicando valor absoluto a ambos lados nos queda $|a||2a|=2|a|^2=|c||a+c|=|c|(|c|-|a|)=|c|^2-|ac|$, pasando cosas de un lado a otro nos queda $|a|^2+|ac|=|c|^2-|a|^2$, y factorizando queda $|a|(|a|+|c|)=(|c|+|a|)(|c|-|a|)$, pero como $|c|+|a| \neq 0$ concluímos que $|a|=|c|-|a|$ y entonces $|c|=2|a|$, pero sabíamos que $c$ y $a$ tienen signos opuestos, por lo que $c=-2a$, y por ende la terna $(a,a,-2a)$ con $a$ real distinto de cero (y todas sus permutaciones) funciona y ya no tenemos más casos por analizar.
Pasando en limpio, las ternas que sirven son:
- $(0,0,0)$
- $(0,0,a)$ con $a$ real no nulo (y todas sus permutaciones)
- $(0,a, -a)$ con $a$ real no nulo (y todas sus permutaciones)
-$(a,a,a)$ con $a$ real no nulo
- $(a,b,-a-b)$ con $a$ y $b$ reales distintos, ambos no nulos y con el mismo signo (y todas sus permutaciones)
- $(a,a,-2a)$ con $a$ real distinto de cero (y todas sus permutaciones)
Supongamos que uno de los números es $0$, digamos $a=0$. Entonces
$$b^2c+bc^2=bc(b+c)=0$$
luego, uno de $b$, $c$, $b+c$ es $0$. De acá salen las soluciones $(0,0,a)$, $(0,a,-a)$ y sus permutaciones, que son válidas para cualquier $a$ real.
Ahora, analizamos el caso de $a$, $b$ y $c$ distintos de $0$. Tenemos que
$$a^2c+ac^2=b^2c+bc^2$$
Dividiendo por $c$,
$$a^2+ac=b^2+bc$$
Luego,
$$(a-b)c=b^2-a^2=-(a-b)(a+b)$$
Por lo que, o bien $a=b$, o bien $c=-(a+b)$. Si $a=b$, simétricamente obtenemos que o bien $b=c$, o bien $a=-(b+c)$. En definitiva, o bien $a=b=c$, o bien $c=-(a+b)$ (o alguna permutación). Entonces, las únicas soluciones son $(a,a,a)$, $(a,b,-a-b)$ y sus permutaciones, que funcionan para cualesquiera $a$ y $b$ reales.
Entonces, todas las soluciones pueden parametrizarse como:
$$(0,0,a),\quad (a,a,a),\quad (a,b,-a-b)$$
