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Selectivo IMO, Perú 2019. Problema 3

Publicado: Mar 12 Feb, 2019 8:13 pm
por Rafaga
Sean $I, O$ y $\Gamma$ respectivamente el incentro, circuncentro y circuncirculo del triángulo $ABC.$ La recta $AI$ corta a $\Gamma$ en el punto $M (M\not=A)$. La circunferencia $\omega$ es tangente interiormente a $\Gamma$ en el punto $T$, y es tangente a las rectas $AB$ y $AC$. Las rectas tangentes a $\Gamma$ en los puntos $A$ y $T$ se cortan en $P.$ La rectas $PI$ y $TM$ se cortan en $Q.$ Pruebe que las rectas $QA$ y $MO$ se cortan en un punto que pertenece a $\Gamma$ .

Re: Selectivo IMO, Perú. Problema 3

Publicado: Mar 12 Feb, 2019 9:14 pm
por Gianni De Rico
Spoiler: mostrar
Sea $G$ el segundo punto de intersección de $MO$ con $\Gamma$, luego $\angle MAG=90°$, queremos demostrar que $Q,A,G$ son colineales, entonces alcanza con ver que $\angle QAM=90°$.
Ahora, por ser el pie de la bisectriz de $\angle CAB$ en $\Gamma$, tenemos que $M$ es el punto medio del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$. Por otro lado, $\omega$ es el incírculo mixtilíneo correspondiente a $A$ en $\triangle ABC$, luego $\angle MTI=90°$, entonces $\angle ITQ=90°$, por otro lado $P$ es el circuncentro de $\triangle ATI$, luego $PA=PI=PT$ y por la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo tenemos $PI=PT=PQ$, por lo que $PA=PI=PQ$ y por la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo tenemos que $\angle QAM=\angle QAI=90°$.

Re: Selectivo IMO, Perú. Problema 3

Publicado: Mié 20 Feb, 2019 2:03 pm
por LouisM
Como pruebas que P es Circuncentro es AIT y MTI=90° ?

Re: Selectivo IMO, Perú. Problema 3

Publicado: Mié 20 Feb, 2019 5:18 pm
por Gianni De Rico
Son propiedades del incírculo mixtilíneo

Re: Selectivo IMO, Perú 2019. Problema 3

Publicado: Jue 21 Feb, 2019 4:16 pm
por Nando
La fgura

Re: Selectivo IMO, Perú 2019. Problema 3

Publicado: Sab 02 Mar, 2019 1:58 pm
por Ivan
Primero recordemos que $M$ es el punto medio del arco $BC$ (que no contiene a $A$) de $\Gamma$. Además $MO$ es la mediatriz de $BC$. Luego $MO$ corta a $\Gamma$ nuevamente en el punto medio $N$ del arco $BC$ (que contiene a $A$) de $\Gamma$.

Entonces lo que queremos es probar que $Q$, $A$ y $N$ están alineados.

Esto es exactamente lo mismo que probar que $P$, $AN\cap TM$ e $I$ están alineados.

El siguiente lema sobre el mixtilinear incircle resulta muy útil (acá hay una demostración).

Lema: $I=AM\cap TN$.

Para concluir aplicamos el teorema de Pascal al hexágono $AANTTM$, que nos dice precisamente que $P$, $AN \cap TM$ y $AM\cap TN$ están alineados.