Provincial 2018 - Nivel 1 - Problema 1

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Matigelp97

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Provincial 2018 - Nivel 1 - Problema 1

Mensaje sin leer por Matigelp97 » Dom 26 Ago, 2018 8:17 am

a) En el pizarrón están escritas las letras $abc$. Sofi y Teo, por turnos, eligen una de las letras y la reemplazan por un dígito. Comienza Sofi. Determinar si Sofi siempre puede lograr que el número de tres dígitos resultante sea múltiplo de $11$. (Letras diferentes se pueden reemplazar por dígitos iguales, pero debe ser siempre $a\neq0$.
b) Inicialmente el pizarrón está vacío. Sofi comienza escribiendo un dígito, luego Teo escribe un segundo dígito a la derecha o a la izquierda del dígito escrito por Sofi, y finalmente Sofi escribe un tercer dígito a la derecha o a la izquierda de los dos dígitos ya escritos (no puede escribirlo entre los dos dígitos ya escritos). Determinar si Sofi puede siempre lograr que el número resultante de tres dígitos sea múltiplo de $11$. (Igual que en a) se pueden repetir dígitos y el número resultante no puede comenzar en $0$).

Jeremias broin
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Re: Provincial 2018 - Nivel 1 - Problema 1

Mensaje sin leer por Jeremias broin » Vie 31 Ago, 2018 5:38 pm

Para la parte a), analizaremos tres casos: sofi cambia primero c, sofi cambia primero b y sofi cambia primero a. Si sofi cambio primero c, utilizando la regla de divisibilidad del 11 (a-b+c=0 o multiplo de 11, que tambien podemos considerar: a+c= b+0 o multiplo de 11. Aclaracion: los unicos multiplos de 11 que se pueden formar con dicha regla de divisibilidad son: -11, 0 y 11) podemos decir que para que sofi no gane, Teo tiene que poner en b el mismo digito que Sofi puso en c, ya que asi, Sofi no puede poner en a un digito diferente a 0 que logre cumplir con la regla.
En caso de Sofi cambiar primero b, Teo debe poner el mismo digito en c por la misma razon.
Por ultimo, en caso de Sofi cambiar a al principio, Teo debe modificar c con 10-a ya que asi la suma de a y c sera 10 y sofi no podra modificar el digito b de forma tal que 10-b sea -11, 0 u 1. Entonces Sofi no tiene una forma de ganar siempre

Para la parte b del problema, Sofi debe poner en el pizarron un numero diferente a 0 o 1, llamaremos a este numero x, luego se habren dos posibilidades: que Teo ponga un numero a la derecha o a la izquierda, el numero que ponga Teo sera k. Si Teo pone k a la derecha de x Sofi debe poner a la derecha de k k-x, a no ser que k sea menor a x, en ese caso, Sofi debe poner a la izquierda de x x-k.
En el caso de Teo poner k a la izquierda de x, sofi debe poner a la izquierda de k k-x, excepto que k sea igual o menor a x, si k es menor a x, y k es diferente a 0, sofi debe poner a la derecha dede k x-k. Si k es 0, ya que el numero no puede empezar con 0, Sofi debe poner a la izquierda de k 11-x. Entonces Sofi si tiene una estrategia ganadora para esta situacion

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