Provincial 2018 - Nivel 2 - Problema 3

[Matigelp97]

En un paralelogramo $ABCD$ de lados $AB$, $BC$, $CD$ y $AD$, sean $E$ el punto medio del lado $AD$ y $F$ en el segmento $CE$ tal que $BF$ es perpendicular a $CE$. Si $AB=CD=5$ y $BC=AD=9$, calcular la medida de $AF$.

[AgustinChenna.]

Hace cuanto no subo una solución (?)

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Sea $G$ la intersección de la prolongación de $CE$ y $BA$. Como $BC // AE$ y $BC = 2 AE$ entonces $AE$ es base media de $BCG$ y por lo tanto $AG = AB = 5$.

Luego, el triángulo $GFB$ es rectángulo, $F$ el ángulo recto y $A$ punto medio de la hipotenusa, por lo que $AF$ es la mediana correspondiente a la hipotenusa del triángulo y, por lo tanto, $AF = AB = 5$.

(Remito la demostración de eso a https://omaforos.com.ar/viewtopic.php?t=1036)

[charo morencos]

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Llamemos $M$ al punto medio de $BC$. Como $AD=BC$ y $AD$ es paralela a $BC$, $AB=EM=5$.
Por mediana correspondiente a la hipotenusa en el triángulo $BFM$, $BM=MC=MF=4,5$. Ahora, llamemos $\alpha$ al ángulo $D\widehat{E}C$. Por ángulos entre paralelas, $D\widehat{E}C$$=$$E\widehat{C}B$$=$$\alpha$, y como $MF=MC$, $E\widehat{C}B$$=$$M\widehat{F}C$$=$$\alpha$. Ahora, $A\widehat{E}F$$=180-$$D \widehat{E}C$$=180-$$\alpha$, y $E\widehat{F}M$$=180-$$M\widehat{F}C$$=180-$$\alpha$. Por lo tanto, $A\widehat{E}F$$=$$E\widehat{F}M$. Por lo tanto, por LAL, llegamos a que los triángulos $AEF$ y $EFM$ son congruentes, ya que $AE=FM=4,5$, $EF=EF$ y $A\widehat{E}F$$=$$E\widehat{F}M$. Entonces, $AF=EM=5$.
La solución está completa.

[Gianni De Rico]

Una solución no estresante que me contaron

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Sea $G$ el punto medio de $BC$, luego $BG=GC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=AE$ de donde $ABGE$ y $AGCE$ son paralelogramos. Del primer paralelogramo obtenemos $EG=AB$, del segundo obtenemos $AG\parallel EF$. Ahora por la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo tenemos $GF=GC=AE$, por lo tanto o bien $AEFG$ es un paralelogramo ($F$ coincide con $C$) o es un trapecio isósceles, en cualquier caso $AF=EG=AB$. En este problema $AB=5$ y por lo tanto queda demostrado que $AF=5$.