Provincial 2018 - Nivel 2 - Problema 1

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Matigelp97

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Provincial 2018 - Nivel 2 - Problema 1

Mensaje sin leer por Matigelp97 » Sab 25 Ago, 2018 9:04 am

En el pizarrón están escritos los números $3$, $4$, y $12$. La operación permitida es elegir dos números del pizarrón, digamos $X$ e $Y$, escribir los números $\frac{3}{5}X-\frac{4}{5}Y$, $\frac{4}{5}X+\frac{3}{5}Y$, y borrar $X$ e $Y$. Decidir si, aplicando la operación permitida varias veces, es posible que los números escritos en el pizarrón sean $2$, $8$ y $10$.

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Julian_Ferres

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Re: Provincial 2018 - Nivel 2 - Problema 1

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Sab 25 Ago, 2018 1:40 pm

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Demostraremos que la suma de los cuadrados de los terminos paso a paso se mantiene invariante.

Si en un paso tenemos los numeros $X,Y$ y $Z$, y elegimos (sin perdida de generalidad) $X$ e $Y$ en ese orden, obtendremos:

$\frac{3}{5}X-\frac{4}{5}Y, \frac{4}{5}X + \frac{3}{5}Y, Z$

Pero $$(\frac{3}{5}X-\frac{4}{5}Y)^2+( \frac{4}{5}X+ \frac{3}{5}Y)^2=\frac{3^2}{5^2}X^2-2*\frac{3}{5}X\frac{4}{5}Y+\frac{4^2}{5^2}Y^2+\frac{4^2}{5^2}X^2+2*\frac{4}{5}X\frac{3}{5}Y+\frac{3^2}{5^2}Y^2$$

$$(\frac{3}{5}X-\frac{4}{5}Y)^2+( \frac{4}{5}X+ \frac{3}{5}Y)^2= X^2+Y^2$$

Luego la suma de los cuadrados antes y despues de cada operación es $X^2+Y^2+Z^2$.

Finalmente como $3^2+4^2+12^2=169 \neq 168 = 2^2+8^2+10^2$ no se puede llegar a escribir los numeros $2, 8$ y $10$ si comenzamos con $3, 4$ y $12$. $\blacksquare$
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¿hola?

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Re: Provincial 2018 - Nivel 2 - Problema 1

Mensaje sin leer por ¿hola? » Dom 26 Ago, 2018 11:56 am

Otra
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Primero veamos inductiva-mente que después de cualquier cantidad de pasos (operaciones permitidas) los numeros en el pizarron son de la forma $\frac{k}{5^a}$ con $k$ un entero y $a$ entero mayor igual a $0$
En el caso base paso $0$ los numeros son $3$,$4$,$12$ que claramente cumplen.
ahora supongamos que en el paso $n$ están los numeros $\frac{j}{5^a}$,$\frac{k}{5^b}$,$\frac{l}{5^c}$ sin perdida de generalidad en el paso $n+1$ los
nuevos numeros serán $\frac{3}{5}\frac{j}{5^a} - \frac{4}{5}\frac{k}{5^b}$ y $\frac{4}{5}\frac{j}{5^a} + \frac{3}{5}\frac{k}{5^b}$ que son iguales a
$\frac{3j-4k5^{a-b}}{5^{a+1}}$ y $\frac{4j+3k5^{a-b}}{5^{a+1}}$ suponiendo sin perdida de generalidad $a$ mayor igual $b$
estos numeros son claramente de la forma $\frac{k}{5^a}$ con $k$ un entero y $a$ entero mayor igual a $0$ osea que por inducción esta propiedad se cumple $(1)$.

Ahora veamos que la diferencia entra la suma de los numeros en el paso $n+1$ y el paso $n$ es $\frac{2}{5}(x_n-3y_n)$ suponiendo $x_n$ e $y_n$ los numeros elegidos en el paso $n$. ahora sumando todas las diferencias entre todos los pasos tenemos la diferencia total entre las sumas osea $(2+8+10)-(3+4+12)=1$ osea
$\frac{2}{5}(x_1-3y_1) + \frac{2}{5}(x_2-3y_2) +....+ \frac{2}{5}(x_f-3y_f) = 1$ que implica $(x_1-3y_1) + (x_2-3y_2) +....+ (x_f-3y_f) = \frac{5}{2}$
como $x_n$ e $y_n$ son de la forma $\frac{k}{5^a}$ con $k$ un entero y $a$ entero mayor igual a $0$ ,por $(1)$, todos los sumandos de la izquierda solo tienen potencias de $5$ de denominadores osea que su suma también sera una fracción con denominador $5^r$ osea
$\frac{N}{5^r}=\frac{5}{2}$ osea $2N=5^{r+1}$, ($N$ es entero) osea un numero par igual que un impar, lo que es un absurdo que proviene de suponer que era posible llegar desde $(3,4,12) $ hasta $(2,8,10)$ osea que no sera posible llegar por medio de operaciones permitidas.


Nota: la demostración funciona para cualquier diferencia de sumas final e inicial que sea impar (en este caso $1$).
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Yes, he who

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