Selectivo de Ibero 2018 - Problema 5

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Luli97

OFO - Mención-OFO 2015 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2016 OFO - Jurado-OFO 2017 FOFO Pascua 2017 - Jurado-FOFO Pascua 2017 FOFO 7 años - Jurado-FOFO 7 años
OFO - Jurado-OFO 2018 FOFO 8 años - Jurado-FOFO 8 años OFO - Jurado-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Jurado-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años
COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber
COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022
Mensajes: 189
Registrado: Mar 16 Abr, 2013 8:23 pm
Medallas: 20
Nivel: Exolímpico

Selectivo de Ibero 2018 - Problema 5

Mensaje sin leer por Luli97 »

Se tiene un tablero cuadrado de $n \times n$, con $n>1$, dividido en $n^2$ casillas unitarias. Algunos lados de casillas unitarias se pintan de rojo de modo que cada casilla del tablero tenga exactamente un lado rojo. Para cada $n$
$a)$ hallar la menor cantidad de lados rojos que puede tener el tablero;
$b)$ hallar la mayor cantidad de lados rojos que puede tener el tablero.
Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020 FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años
OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 460
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 16
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Ciudad Gotica

Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 5

Mensaje sin leer por Joacoini »

a)
Spoiler: mostrar
Como cada lado pintado puede completar a dos casillas como mucho, si $l$ es la cantidad de lados pintados $n^2\leq 2l\Rightarrow \frac{n^2}{2}\leq l$.
Para $n$ par un ejemplo con $\frac{n^2}{2}$ es pintar las columnas pares, para $n$ impar un ejemplo con $\left \lceil \frac{n^2}{2} \right \rceil$ es pintar las columnas pares menos la de más a la derecha y pintar el lado que está en el extremo derecho de las filas pares.
Con filas y columnas pares me refiero a los segmentos y no a las agrupaciones de casillas.
NO HAY ANÁLISIS.
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

b)
Spoiler: mostrar
Una cota es $\left \lfloor \frac{n^2}{2}\right \rfloor +2(n-1)$.
Consideramos cada casilla por separado, entonces podemos tener a lo sumo $n^2$ lados rojos. Los lados que quedan sobre el borde del tablero los estamos contando una vez, los que quedan adentro los estamos contando dos veces; como sobre el borde del tablero podemos poner a lo sumo $4(n-1)$ lados rojos (ya que tenemos que quitar al menos un lado rojo de cada esquina, el tablero tiene $4$ esquinas y $4$ lados de longitud $n$), resulta que a lo sumo podemos poner $\left \lfloor \frac{n^2}{2}\right \rfloor +2(n-1)$ lados rojos para $n>1$.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Spoiler: mostrar
Para $n$ par el máximo es alcanzable, y la cuenta que hicimos nos da la idea de cómo construirlo. Subo ejemplos para $n=4$ y $n=6$
Selectivo Ibero 2018 P5 - n=4.png
Selectivo Ibero 2018 P5 - n=6.png
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Spoiler: mostrar
Para $n$ impar es más complicado, pero también se puede alcanzar el máximo. Dejo ejemplos de $n=3$, $n=5$, $n=7$ y $n=9$
Selectivo Ibero 2018 P5 - n=3.png
Selectivo Ibero 2018 P5 - n=5.png
Selectivo Ibero 2018 P5 - n=7.png
Selectivo Ibero 2018 P5 - n=9.png
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Responder