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Hay una circunferencia con 100 puntos marcados. A cada punto se le asigna un entero distinto del 1 al 100

i) Demostrar que siempre se pueden unir los puntos con 50 segmentos tal que cada punto sea parte de solo un segmento, los segmentos no se intersequen y la suma de los números que son vértices de cada segmento sea impar.

ii) Determinar si lo mismo es cierto para suma par.

Buenos días. No entiendo cómo demostrar que la suma es impar. Se q si sumó un par y un impar da impar.

Soluciones:
i)

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Probamos que si se tienen $n$ números impares y $n$ números pares sobre la circunferencia, se puede cumplir la condición del problema. Lo haremos por inducción. El caso base $n=1$ es obvio. Asumamos que es posible para $n$. Lo probaremos para $n+1$ puntos pares e impares.

Específicamente, deben haber dos puntos adyacentes tal que uno tiene un número par y el otro un número impar. Conectamos esos dos. Entonces, entre los otros $2n$ puntos hay $n$ pares y $n$ impares, que se pueden unir con la condición del enunciado, por hipótesis inductiva.

Entonces, se puede para todo $n$. En especial, se puede si tenemos $50$ números pares y $50$ números impares, que es lo que tenemos en el enunciado.

ii)

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La contestación es no. Consideremos los cien números puestos en orden creciente: $1,2,3, \ldots , 100$.

Entonces, si conectamos dos puntos para que la suma sea par, nos quedaría que a ambos lados del segmento hay un número impar de puntos y entonces no podemos unirlos todos sin que se crucen con el primer segmento que dibujamos.