Semanal 207

Agostin Feininger
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Semanal 207

Mensaje sin leer por Agostin Feininger » Jue 17 May, 2018 7:52 am

Buenos días. No entiendo cómo demostrar que la suma es impar. Se q si sumó un par y un impar da impar.

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Violeta

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Re: Semanal 207

Mensaje sin leer por Violeta » Jue 17 May, 2018 2:18 pm

Primero que todo, el problema:

Hay una circunferencia con $100$ puntos marcados. A cada punto se le asigna un entero distinto del $1$ al $100$

i) Demostrar que siempre se pueden unir los puntos con 50 segmentos tal que cada punto sea parte de solo un segmento, los segmentos no se intersequen y la suma de los números que son vértices de cada segmento sea impar.

ii) Determinar si lo mismo es cierto para suma par.

Soluciones:
i)
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Probamos que si se tienen $n$ números impares y $n$ números pares sobre la circunferencia, se puede cumplir la condición del problema. Lo haremos por inducción. El caso base $n=1$ es obvio. Asumamos que es posible para $n$. Lo probaremos para $n+1$ puntos pares e impares.

Específicamente, deben haber dos puntos adyacentes tal que uno tiene un número par y el otro un número impar. Conectamos esos dos. Entonces, entre los otros $2n$ puntos hay $n$ pares y $n$ impares, que se pueden unir con la condición del enunciado, por hipótesis inductiva.

Entonces, se puede para todo $n$. En especial, se puede si tenemos $50$ números pares y $50$ números impares, que es lo que tenemos en el enunciado.
ii)
Spoiler: mostrar
La contestación es no. Consideremos los cien números puestos en orden creciente: $1,2,3, \ldots , 100$.

Entonces, si conectamos dos puntos para que la suma sea par, nos quedaría que a ambos lados del segmento hay un número impar de puntos y entonces no podemos unirlos todos sin que se crucen con el primer segmento que dibujamos.
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Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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