Selectivo de CENTRO - Puerto Rico 2018
Selectivo de CENTRO - Puerto Rico 2018
Por cuestiones de tiempo, nuestra examen duró un día, dividido en dos exámenes de dos horas cada uno.
Parte I:
1. Hallar todas las soluciones $(a,b)$ sobre los enteros positivos de la ecuación $a^2 - 3\cdot 2^b = 1$
2. Se tienen $5$ enteros $a_1, a_2 ,\ldots, a_5$. Se tiene una permutación $b_1, b_2, \ldots, b_5$ de $a_1, a_2, \ldots , a_5$. Probar que
$$(a_1-b_1)(a_2-b_2)(a_3-b_3)(a_4-b_4)(a_5-b_5)$$
es par.
Parte II:
1. Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. $M$ es el punto de intersección de $AC$ y $BD$ y $K$ es el punto de intersección de la bisectriz de $\angle ACD$ y la prolongación de $AB$. $L$ es donde $KC$ y $BD$ se intersecan.
Si $MA \cdot CD = MB \cdot LD$, probar que $\angle BKC = \angle CDB$
2. Se marcan siete puntos en un círculo y en cada punto se escribe un entero positivo, todos distintos. Luego, todos los puntos se remplazan, simultáneamente, por el mínimo común múltiplo de sus vecinos. Este proceso solo sucede una vez. Si sucede que todos los números son el mismo número $n$, hallar el mínimo valor posible de $n$.
Parte I:
1. Hallar todas las soluciones $(a,b)$ sobre los enteros positivos de la ecuación $a^2 - 3\cdot 2^b = 1$
2. Se tienen $5$ enteros $a_1, a_2 ,\ldots, a_5$. Se tiene una permutación $b_1, b_2, \ldots, b_5$ de $a_1, a_2, \ldots , a_5$. Probar que
$$(a_1-b_1)(a_2-b_2)(a_3-b_3)(a_4-b_4)(a_5-b_5)$$
es par.
Parte II:
1. Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. $M$ es el punto de intersección de $AC$ y $BD$ y $K$ es el punto de intersección de la bisectriz de $\angle ACD$ y la prolongación de $AB$. $L$ es donde $KC$ y $BD$ se intersecan.
Si $MA \cdot CD = MB \cdot LD$, probar que $\angle BKC = \angle CDB$
2. Se marcan siete puntos en un círculo y en cada punto se escribe un entero positivo, todos distintos. Luego, todos los puntos se remplazan, simultáneamente, por el mínimo común múltiplo de sus vecinos. Este proceso solo sucede una vez. Si sucede que todos los números son el mismo número $n$, hallar el mínimo valor posible de $n$.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.
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Gianni De Rico
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