Sean [math]a, [math]b y [math]c enteros positivos. Se definen tres sucesiones tales que:
[math]a_1=a, [math]b_1=b, [math]c_1=c
[math]a_{n+1}=\left \lfloor \sqrt{a_nb_n}\right \rfloor, [math]b_{n+1}=\left \lfloor \sqrt{b_nc_n} \right \rfloor, [math]c_{n+1}=\left \lfloor \sqrt{c_na_n} \right \rfloor para todo [math]n\geq 1
a. Demostrar que para cualquier [math]a, [math]b, [math]c, existe un entero positivo [math]N tal que [math]a_N=b_N=c_N. b. Hallar el menor entero positivo [math]N tal que [math]a_N=b_N=c_N para alguna elección de [math]a, [math]b, [math]c tal que [math]a\geq 2 y [math]b+c=2a-1
Nota: Denotamos [math]\lfloor x\rfloor a la parte entera del número real [math]x, por ejemplo [math]\lfloor 2,8\rfloor =2, [math]\lfloor \pi \rfloor =3, [math]\lfloor 5\rfloor =5.
Por lo tanto, [math]f(a_1, b_1, c_1)\geqslant f(a_2, b_2, c_2)\geqslant f(a_3, b_3, c_3)\geqslant. Pero como [math]f es positivo, entonces existe un entero positivo [math]N tal que [math]f(a_i, b_i, c_i) es constante para todo [math]i\geqslant N, y de esto ocurre que [math]a_i=b_i=c_i para algún entero [math]i\geqslant N.
Por otro lado, sea [math](a, b, c) una terna cualquiera de enteros positivos tal que [math]a\geqslant 2 y [math]b+c=2a-1. Como [math]b y [math]c no pueden ser iguales (de lo contrario [math]b+c es par, pero [math]2a-1 no lo es), entonces uno de ellos es menor que el otro, así, podemos suponer sin pérdida de generalidad que [math]b<c.
a) Tomemos [math]a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}. Nos queda que [math]a_{n+1}\leq c_{n+1}\leq b_{n+1}. Como [math]a_{n+1}=[\sqrt{a_{n}b_{n}}] si tomamos [math]b_{n}=a_{n}+s (con [math]s\in N_0) nos queda que [math]a_{n+1}=a_{n} si [math]s\leq 2 y [math]a_{n+1}>a_{n} si [math]s>2 (ya que [math](a_{n}+1)^2=a_{n}^2+2a_{n}+1). Y como [math]b_{n+1}=[\sqrt{b_{n}c_{n}}] de ser [math]b_{n}=c_{n} entonces [math]b_{n+1}=c_{n} y si [math]b_{n}<c_{n} entonces [math]b_{n+1}<c_{n}. Llamemos [math]d_{n}=c_{n}-a_{n} (siendo [math]a_{n} el menor de los tres números y [math]c_{n} el mayor). Tendremos que [math]d_{n}>d_{n+1} a menos que sea [math]s\leq 2 y [math]b_{n}=c_{n}
Así que para cualquier elección de [math]a, b y [math]c va a pasar que:
-El valor de [math]d va a ser cada vez menor hasta llegar a [math]d=0 (y así ser [math]a_{N}=b_{N}=c_{N})
-O que [math]d_{n}=d_{n+1} por ser [math]a_{n}+s=b_{n}=c_{n} con [math]s\leq 2
De pasar lo segundo:
-Si [math]s=0 entonces [math]a_{n}=b_{n}=c_{n}
-Si [math]s=1 entonces [math]a_{n+1}+1=c_{n+1}+1=b_{n+1}=c_{n} y [math]a_{n+2}=b_{n+2}=c_{n+2}=a_{n}
-Si [math]s=2 entonces [math]a_{n+1}+2=c_{n+1}+2=b_{n+1}=c_{n} y [math]a_{n+2}=b_{n+2}=c_{n+2}=a_{n}
b) Como [math]b+c=2a-1 es impar, [math]b\neq c, (por lo tanto [math]N>1) supongamos [math]b>c. Entonces [math]b=a+x (con [math]x\in N_{0}) y [math]c=a-1-x. Así que [math]a_2=[\sqrt{ab}]\geq a y [math]c_2=[\sqrt{ac}]<a (entonces [math]N>2)
Y si tomamos [math]a=b=2 y [math]c=1 nos queda que [math]a_3=b_3=c_3=1