Cono Sur 2017 P5

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Gianni De Rico

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Cono Sur 2017 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sean [math], [math] y [math] enteros positivos. Se definen tres sucesiones tales que:
  • [math], [math], [math]
  • [math], [math], [math] para todo [math]
a. Demostrar que para cualquier [math], [math], [math], existe un entero positivo [math] tal que [math].
b. Hallar el menor entero positivo [math] tal que [math] para alguna elección de [math], [math], [math] tal que [math] y [math]

Nota: Denotamos [math] a la parte entera del número real [math], por ejemplo [math], [math], [math].
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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Emerson Soriano

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Re: Cono Sur 2017 P5

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

La parte [math] me salió un poco larga, pero voy a mostrar una solución corta que me contaron y me parece muy buena.

Parte a)
Spoiler: mostrar
Para cada [math], sea [math]. Notemos que
[math]
pero sabemos que
[math],
Con igualdad si y sólo si [math].

Por lo tanto, [math]. Pero como [math] es positivo, entonces existe un entero positivo [math] tal que [math] es constante para todo [math], y de esto ocurre que [math] para algún entero [math].
Parte b)
Spoiler: mostrar
Sea [math] el número que estamos buscando. Notemos que la terna [math] satisface las condiciones dadas, por lo tanto,
[math]

Luego,
[math]

Por lo tanto, [math].

Por otro lado, sea [math] una terna cualquiera de enteros positivos tal que [math] y [math]. Como [math] y [math] no pueden ser iguales (de lo contrario [math] es par, pero [math] no lo es), entonces uno de ellos es menor que el otro, así, podemos suponer sin pérdida de generalidad que [math].

Notemos que,
[math]

entonces [math] y [math]. De las dos últimas desigualdades, tenemos que
[math]

y también tenemos que
[math]

Combinando las dos últimas desigualdades tenemos que [math]. Esto significa que [math], lo cual implica que que [math].
Última edición por Emerson Soriano el Lun 21 Ago, 2017 10:04 pm, editado 1 vez en total.
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Matías

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Re: Cono Sur 2017 P5

Mensaje sin leer por Matías »

Mi a es un poco más largo
Spoiler: mostrar
a) Tomemos [math]. Nos queda que [math]. Como [math] si tomamos [math] (con [math]) nos queda que [math] si [math] y [math] si [math] (ya que [math]). Y como [math] de ser [math] entonces [math] y si [math] entonces [math]. Llamemos [math] (siendo [math] el menor de los tres números y [math] el mayor). Tendremos que [math] a menos que sea [math] y [math]
Así que para cualquier elección de [math] y [math] va a pasar que:
-El valor de [math] va a ser cada vez menor hasta llegar a [math] (y así ser [math]
-O que [math] por ser [math] con [math]
De pasar lo segundo:
-Si [math] entonces [math]
-Si [math] entonces [math] y [math]
-Si [math] entonces [math] y [math]

b) Como [math] es impar, [math], (por lo tanto [math]) supongamos [math]. Entonces [math] (con [math]) y [math]. Así que [math] y [math] (entonces [math])
Y si tomamos [math] y [math] nos queda que [math]
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