Problema 1:
Un par ordenado
[math]\left ( a,b \right ) de enteros positivos es llamado
decianimal cuando
[math]\frac{1}{a}+\frac{1}{b} es igual a una fracción decimal
[math]\frac{m}{10}, con
[math]\text{mcd}\left ( m,10 \right )=1. Halle todos los pares decianimales.
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- Sea [math]d=\left ( a:b \right ) y sean [math]k y [math]q dos naturales tales que [math]a=dk y [math]b=dq. Entonces [math]\left ( k:q \right )=1. De esta forma
[math]\frac{m}{10}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{dk+dq}{dkdq}=\frac{k+q}{dkq}
Por lo tanto [math]mdkq=10\left ( k+q \right ). Además tenemos que [math]kq y [math]k+q son coprimos. En efecto, si existiera un primo [math]p que los divida a ambos tendríamos [math]p\mid kq y [math]p\mid k+q. De la primera surge que debe dividir a [math]k o a [math]q, y de la segunda surge que también divide al otro, absurdo porque son coprimos.
Por lo tanto [math]kq\mid 10\left ( k+q \right )\Rightarrow kq\mid 10, de donde [math]kq\in \left \{ 1,2,5,10 \right \}.
Caso 1: [math]kq=1
Entonces [math]k=1 y [math]q=1, luego [math]a=b=d, tenemos entonces
[math]\frac{1}{d}+\frac{1}{d}=\frac{m}{10}\Longleftrightarrow dm=20
Por lo tanto [math]m\mid {20}, de donde [math]m\in \left \{ 1,2,4,5,10,20 \right \}. El único que es coprimo con [math]10 es [math]1, por lo tanto [math]m=1 y [math]d=20, así [math]\left ( a,b \right )=\left ( 20,20 \right ) es una solución.
Caso 2: [math]kq=2
Entonces podemos tomar [math]k=1 y [math]q=2, de donde [math]a=d y [math]b=2d, así
[math]\frac{1}{d}+\frac{1}{2d}=\frac{m}{10}\Longleftrightarrow dm=15
De esta forma [math]m\in \left \{ 1,3 \right \}.
Si [math]m=1 entonces [math]d=15, así [math]\left ( a,b \right )=\left ( 15,30 \right ) y [math]\left ( a,b \right )=\left ( 30,15 \right ) son soluciones.
Si [math]m=3 entonces [math]d=5, así [math]\left ( a,b \right )=\left ( 5,10 \right ) y [math]\left ( a,b \right )=\left ( 10,5 \right ) son soluciones.
Caso 3: [math]kq=5
Podemos entonces tomar [math]k=1 y [math]q=5, de esta forma [math]a=d y [math]b=5d, luego
[math]\frac{1}{d}+\frac{1}{5d}=\frac{m}{10}\Longleftrightarrow dm=12
De donde [math]m\in \left \{ 1,3 \right \}.
Si [math]m=1 entonces [math]d=12, así [math]\left ( a,b \right )=\left ( 12,60 \right ) y [math]\left ( a,b \right )=\left ( 60,12 \right ) son soluciones.
Si [math]m=3 entonces [math]d=4, así [math]\left ( a,b \right )=\left ( 4,20 \right ) y [math]\left ( a,b \right )=\left ( 20,4 \right ) son soluciones.
Caso 4: [math]kq=10
Tenemos dos posibles sub casos:
Sub caso 4.1: [math]k=1 y [math]q=10
Entonces [math]a=d y [math]b=10d, de esta forma
[math]\frac{1}{d}+\frac{1}{10d}=\frac{m}{10}\Longleftrightarrow dm=11
Y por lo tanto [math]m\in \left \{ 1,11 \right \}.
Si [math]m=1 entonces [math]d=11, así [math]\left ( a,b \right )=\left ( 11,110 \right ) y [math]\left ( a,b \right )=\left ( 110,11 \right ) son soluciones.
Si [math]m=11 entonces [math]d=1, así [math]\left ( a,b \right )=\left ( 1,10 \right ) y [math]\left ( a,b \right )=\left ( 10,1 \right ) son soluciones.
Sub caso 4.2: [math]k=2 y [math]q=5
Entonces [math]a=2d y [math]b=5d, luego
[math]\frac{1}{2d}+\frac{1}{5d}=\frac{m}{10}\Longleftrightarrow dm=7
Entonces [math]m\in \left \{ 1,7 \right \}.
Si [math]m=1 entonces [math]d=7, así [math]\left ( a,b \right )=\left ( 14,35 \right ) y [math]\left ( a,b \right )=\left ( 35,14 \right ) son soluciones.
Si [math]m=7 entonces [math]d=1, así [math]\left ( a,b \right )=\left ( 2,5 \right ) y [math]\left ( a,b \right )=\left ( 5,2 \right ) son soluciones.
Conclusión: Las soluciones [math]\left ( a,b \right ) son:
[math](20,20)
[math](15,30)
[math](30,15)
[math](5,10)
[math](10,5)
[math](12,60)
[math](60,12)
[math](4,20)
[math](20,4)
[math](11,110)
[math](110,11)
[math](1,10)
[math](10,1)
[math](14,35)
[math](35,14)
[math](2,5)
[math](5,2)