Maratón de Problemas

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jhn

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Mié 17 Abr, 2019 9:18 am

Solución al 334
Spoiler: mostrar
La cantidad de facheros es onfinita, ya que todos los primos esxcepto 5 y 7 son facheros. En efecto, como
$$ (x+y)^5-x^5-y^5=5xy(x+y)(x^2+xy+y^2) $$
y
$$ (x+y)^7-x^7-y^7=7xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^2, $$
es claro que si $p$ es un primo diferente de 5 y 7 y divide a $(x+y)^7-x^7-y^7$, entonces divide a $x$ o a $y$ o a $x+y$ o a $x^2+xy+y^2$, y por lo tanto divide a $(x+y)^5-x^5-y^5$. Análogamente si $p$ divide a $(x+y)^5-x^5-y^5$ entonces divide a $(x+y)^7-x^7-y^7$, de donde $p$ es fachero.
1  
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 17 Abr, 2019 7:31 pm

La solución es correcta, te toca proponer
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jhn

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Mié 17 Abr, 2019 7:48 pm

Problema 335
Determinar si existen dos conjuntos de números enteros positivos $A$ y $B$, tales que para cada entero $z$ existan elementos únicos $a$ en $A$ y $b$ en $B$ tales que $z=a-b$.
Última edición por jhn el Dom 28 Abr, 2019 1:04 pm, editado 1 vez en total.
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BrunZo

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por BrunZo » Vie 26 Abr, 2019 6:37 pm

jhn escribió:
Mié 17 Abr, 2019 7:48 pm
Problema 335
Determinar si existen dos conjuntos de números enteros $A$ y $B$, tales que para cada entero $z$ existan elementos únicos $a$ en $A$ y $b$ en $B$ tales que $z=a-b$.
Quizá le estoy pifiando en algo, pero no serviría
Spoiler: mostrar
$A=\{0\}$ y $B=\mathbb{Z}$.

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Dom 28 Abr, 2019 1:03 pm

Tienes razón, es que olvidé poner "positivos". Ya lo edito.
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Dom 02 Jun, 2019 1:21 pm

¿Lo cambio?
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Turko Arias

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Turko Arias » Dom 30 Jun, 2019 7:23 pm

Buenas buenas, para darle vida a esto y aprovechar que se vienen las vacaciones cambio el problema en vigencia, que ya lleva un par de meses sin ser resuelto :D
Problema $335+\epsilon$, con $\epsilon$ arbitrariamente chico
Hallar el menor entero positivo $n$ tal que podemos escribir los números $1,2,\dots ,n$ en una cuadrícula de $18 \times 18$ de manera que:
$i)$ Cada número aparezca al menos una vez
$ii)$En cada fila y en cada columno, no haya dos números que difieran en $0$ o en $1$.
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Fran5

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Fran5 » Mar 02 Jul, 2019 1:03 pm

En un tablero de $18 \times 18$? O sea que $n \leq 18^2$ ?
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Vie 05 Jul, 2019 11:23 am

Solución al $335+\epsilon$:
Spoiler: mostrar
El mínimo $n$ es 37. Más en general, para una cuadrícula de $k\times k$ con $k\ge 3$ el mínimo $n$ es $2k+1$ (para $k=1$ obviamente $n=1$ y para $k=2$ es fácil ver que no se pueden cumplir las condiciones). Supongamos entonces $k\ge 3$. Es claro que debe ser $n>1$. Sean $u_1<u_2<\cdots <u_k$ los elementos de una fila en la que aparezca el 2 ordenados en forma creciente. Entonces $u_k=(u_k-u_{k-1})+(u_{k-1}-u_{k-2})+\cdots+(u_2-u_1)+u_1\ge 2+2+\cdots+2=2k$. Por lo tanto $n\ge 2k$, pero no puede ser $n=2k$ pues en ese caso una fila que contenga al 2 debe contener a 2, 4,\ldots, $2k$, mientras que una columna que contenga al $2k-1$ debe contener a 1, 3,\ldots, $2k-1$, y examinando el número en la intersección se ve que esto es imposible.

Para terminar basta ver que los números de 1 a $2k+1$ se pueden acomodar en la cuadrícula cumpliendo las condiciones. Denotemos con $a_{ij}$ el número en la fila $i$ y columna $j$. Pongamos $a_{ik}=2i$ para $i=1,2,\ldots,k$. Si $1\le j\le k-1$ pongamos $a_{ij}=2(i+j)+1 \bmod{2k+2}$. Es claro que la condición se cumple en la columna $k$, y también en las columnas 1,2,\ldots,$k-1$ pues están formadas por impares diferentes. En la fila $i$ se tienen el par $2i$ y los impares
$2i+3$, $2i+5$,\ldots, $2i+2k-1$, tomados módulo $2k+2$, es decir los impares de 1 a
$2k+1$ excepto $2i-1$ y $2i+1$, y es claro que también se cumple la condición.
Última edición por jhn el Dom 22 Dic, 2019 9:26 am, editado 1 vez en total.
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Vie 05 Jul, 2019 11:26 am

Problema 336
Un tablero cuadrado de $8\times 8$ tiene todas sus casillas blancas excepto la esquina superior izquierda, que es negra. Una operación permitida consiste en escoger una fila o una columna y cambiar el color de todas las casillas que la componen.

(a) Pruebe que, realizando operaciones permitidas, es imposible llegar a tener un tablero completamente negro.

(b) ¿Cuál es el mínimo número de casillas que se tienen que pintar de negro, además de la esquina, para que sea posible, mediante operaciones permitidas, llegar a tener un tablero completamente negro?
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