Maratón de Problemas

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Fredy10
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Fredy10 »

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Bueno, para hacer las cosas un poco mas manejables, imaginemoslo al problema como un grafo, donde si dos personas se conocen la unimos con una arista azul y si no, con una roja. De es esta manera en cada vértice confluirán 9 aristas rojas y 10 azules y el problema nos pide que encontremos la cantidad de triángulos monocromáticos.

Como suele suceder en muchos problemas, es mas fácil contar la cantidad que no lo son: los triángulos bicromaticos tienen una particularidad (tienen dos colores XD): dos de sus vértices tienen una arista roja y una azul (el tercer vertice tiene de igual color las aristas que en el confluyen) bastara entonces contar dicha cantidad que un vertice es un "vertice bicromatico" en algun triangulo, multiplicar por la cantidad de aristas y dividir por 2 (porque cada triangulo bicromatico tiene exactamente 2).

Cada vertice es un "vertice bicromatico" para 10x9 triangulos (formas de elegir una arista roja y una azul que salen del mismo vertice) es decir habra un total de 20x10x9/2 = 900 triangulos bicromaticos

El total de triangulos es [math] es decir 1140 restando = 240
Problema:

Maite escribió una lista que satisfacía que la suma de 11 números consecutivos era negativa, pero la de 7 consecutivos positiva. Hallar la máxima longitud que puede tener la lista de Maite
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No, manzana
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por No, manzana »

Fredy10 escribió:
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Bueno, para hacer las cosas un poco mas manejables, imaginemoslo al problema como un grafo, donde si dos personas se conocen la unimos con una arista azul y si no, con una roja. De es esta manera en cada vértice confluirán 9 aristas rojas y 10 azules y el problema nos pide que encontremos la cantidad de triángulos monocromáticos.

Como suele suceder en muchos problemas, es mas fácil contar la cantidad que no lo son: los triángulos bicromaticos tienen una particularidad (tienen dos colores XD): dos de sus vértices tienen una arista roja y una azul (el tercer vertice tiene de igual color las aristas que en el confluyen) bastara entonces contar dicha cantidad que un vertice es un "vertice bicromatico" en algun triangulo, multiplicar por la cantidad de aristas y dividir por 2 (porque cada triangulo bicromatico tiene exactamente 2).

Cada vertice es un "vertice bicromatico" para 10x9 triangulos (formas de elegir una arista roja y una azul que salen del mismo vertice) es decir habra un total de 20x10x9/2 = 900 triangulos bicromaticos

El total de triangulos es [math] es decir 1140 restando = 240
Problema:

Maite escribió una lista que satisfacía que la suma de 11 números consecutivos era negativa, pero la de 7 consecutivos positiva. Hallar la máxima longitud que puede tener la lista de Maite
Re fome a uno de IMO xD
[math], Posta!
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Sea [math] un real, veamos que: [math], entonces [math].
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Vladislao

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Vladislao »

Fredy10 escribió:
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Bueno, para hacer las cosas un poco mas manejables, imaginemoslo al problema como un grafo, donde si dos personas se conocen la unimos con una arista azul y si no, con una roja. De es esta manera en cada vértice confluirán 9 aristas rojas y 10 azules y el problema nos pide que encontremos la cantidad de triángulos monocromáticos.

Como suele suceder en muchos problemas, es mas fácil contar la cantidad que no lo son: los triángulos bicromaticos tienen una particularidad (tienen dos colores XD): dos de sus vértices tienen una arista roja y una azul (el tercer vertice tiene de igual color las aristas que en el confluyen) bastara entonces contar dicha cantidad que un vertice es un "vertice bicromatico" en algun triangulo, multiplicar por la cantidad de aristas y dividir por 2 (porque cada triangulo bicromatico tiene exactamente 2).

Cada vertice es un "vertice bicromatico" para 10x9 triangulos (formas de elegir una arista roja y una azul que salen del mismo vertice) es decir habra un total de 20x10x9/2 = 900 triangulos bicromaticos

El total de triangulos es [math] es decir 1140 restando = 240
Problema:

Maite escribió una lista que satisfacía que la suma de 11 números consecutivos era negativa, pero la de 7 consecutivos positiva. Hallar la máxima longitud que puede tener la lista de Maite
¿Los numeritos tienen que ser reales, enteros, o enteros positivos?
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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Fredy10
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Fredy10 »

Creo que es facil ver que es irrelevante que numeros sean (obviamente son tanto positivos como negativos xD) pero para "complicar" un poco mas (en realidad es lo mismo) ponele que sean enteros
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amcandio

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por amcandio »

buen cambio de problema.

Problema:

Sea [math] la suma de digitos en sistema decimal de n.

Calcular [math]
"Prillo es el Lanata de la trigonometria"
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Vladislao

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Vladislao »

Creo que ya lo hice alguna vez.
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La cantidad de cifras de [math] es exactamente [math]

Veamos cuál puede ser el mayor valor de [math] si [math] es un entero de [math] dígitos.

Es claro que [math]

Luego, [math] es un número de 6 cifras, con la primera cifra igual a 1. Si queremos maximizar [math], tiene que ser [math], y en ese caso, [math]. Finalmente, [math].

Ahora, hemos visto que [math].

Notemos que [math], por Euler, tenemos que [math], entonces:

[math].

Como [math] para todo [math] natural, sigue que [math], y como [math], sigue que [math]
Problema:

Sea [math] un triángulo con un ángulo de [math]. Sean [math], [math], y [math] los pies de las bisectrices de los ángulos del [math]. Demostrar que el triángulo [math] es rectángulo.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Vladislao »

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crimeeee escribió:Imagen

Es fácil ver que DC=CF, y por lo tanto [math], entonces ....
Es mentira que [math] siempre. El problema sigue en pie.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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Vladislao

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Vladislao »

Un contraejemplo gráfico:
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adss.PNG
Hay algo mal en tu análisis. Revisá.

The problem is still alive.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
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Ivan

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Ivan »

El error es que estás suponiendo que [math], [math], [math] son colineales, en general no es verdad eso.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
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Vladislao

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Vladislao »

Cambio de problema:

Mr. Pop afirma que encontró un número de [math] cifras que es divisible entre [math]. Decidir si Mr. Pop miente, o puede estar diciendo la verdad.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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