Maratón de Problemas
Re: Maratón de Problemas
Te toca proponer.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
Re: Maratón de Problemas
Problema 314
Raimu y Flavio hacen una apuesta. Flavio dice que peude pintar $313$ casillas en un tablero de $314$ por $314$ de forma tal que si una casilla (que no esta pintada) es adyacente (comparte un lado) con dos o mas casillas pintadas, esta se pinta. Este proceso lo puede repetir hasta tener todo el tablero pintado. Raimu no le cree. Determinar quien gana la apuesta.
Raimu y Flavio hacen una apuesta. Flavio dice que peude pintar $313$ casillas en un tablero de $314$ por $314$ de forma tal que si una casilla (que no esta pintada) es adyacente (comparte un lado) con dos o mas casillas pintadas, esta se pinta. Este proceso lo puede repetir hasta tener todo el tablero pintado. Raimu no le cree. Determinar quien gana la apuesta.
Última edición por ¿hola? el Sab 14 Abr, 2018 2:42 pm, editado 2 veces en total.
Yes, he who
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas
Solución 314:
Última edición por Gianni De Rico el Sab 14 Abr, 2018 12:46 pm, editado 1 vez en total.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas
Problema 315:
Hallar todas las funciones polinómicas $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que
Para todos $x,y$ reales.
Hallar todas las funciones polinómicas $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que
$f(xy+f(x)+f(y))=f(x)f(y)+f(x)+f(y)+f(x+y)-1$
Para todos $x,y$ reales.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Re: Maratón de Problemas
Solución 315
Última edición por Matías el Mar 19 Jun, 2018 8:12 pm, editado 1 vez en total.
Re: Maratón de Problemas
Problema 316
Para cada número natural $n$, sea $d(n)$ la cantidad de divisores naturales de $n$.
Hallar todos los números naturales $n$ tales que $d(n)\geq\sqrt{n}$.
Para cada número natural $n$, sea $d(n)$ la cantidad de divisores naturales de $n$.
Hallar todos los números naturales $n$ tales que $d(n)\geq\sqrt{n}$.
Re: Maratón de Problemas
sólo añadir que falta analizar el caso $a_0=-2$, aunque eso no invalide la conclusión acerca del grado del polinomioMatías escribió: ↑Sab 05 May, 2018 8:47 pm Solución 315
Siendo $gr(f)\in N_0$ el grado de $f$, tenemos que $f(x)=\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i$, siendo $a_0$, $a_1$, $...$, $a_n$ los coeficientes de $f$
Tomando $y=0$ $\forall x\in R$ tenemos que:
$f(f(0)+f(x))=f(0)f(x)+f(0)+2f(x)-1$
$f(a_0+\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i)=(2+a_0)\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i+a_0-1$
$\sum_{i=0}^{gr(f)}a_i(a_0+\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i)^i=\sum_{i=0}^{gr(f)}(2+a_0)a_ix^i+a_0-1$
Ahora bien, del primer lado de la igualdad tenemos un polinomio de grado $gr(f)^2$ y del segundo lado tenemos un polinomio de grado $gr(f)$, entonces tenemos que $gr(f)=gr(f)^2\implies gr(f)=0\vee gr(f)=1$, es decir, $f$ es constante o lineal.
Re: Maratón de Problemas
Solución 316
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
Re: Maratón de Problemas
La idea del problema es bastante básica, pero hay tantos casos que considerar que nunca se me dieron las ganas de escribir una solución.
Aplaudo tu perseverancia
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.
Re: Maratón de Problemas
Problema 317
Cada uno de los $2n(n+1)$ segmentos que son lados de alguna casilla de un tablero de $n\times n$, siendo $n$ un entero positivo impar, se pinta de rojo o de azul. Se sabe que hay a lo sumo $n^2$ segmentos rojos. Pruebe que alguna casilla tiene al menos tres lados azules.
Cada uno de los $2n(n+1)$ segmentos que son lados de alguna casilla de un tablero de $n\times n$, siendo $n$ un entero positivo impar, se pinta de rojo o de azul. Se sabe que hay a lo sumo $n^2$ segmentos rojos. Pruebe que alguna casilla tiene al menos tres lados azules.
Última edición por jhn el Vie 20 Jul, 2018 8:50 pm, editado 1 vez en total.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.