Maratón de Problemas

Matías

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Matías » Vie 20 Jul, 2018 4:43 pm

Si $n=2$ se pueden pintar los $4$ segmentos del centro (que tienen al punto del centro como vértice) de rojo y cada casilla queda con dos lados azules.

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 20 Jul, 2018 5:03 pm

Che...
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Para $n=2k$ podemos dividir el tablero en $k^2$ subtableros disjuntos de $2\times 2$ y pintar como la figura
317.png
Entonces usamos $4k^2=(2k)^2=n^2$ segmentos rojos, y ninguna casilla tiene $3$ lados azules.
EDIT: Mismo ejemplo que Raimu, sólo que generalizado
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jhn

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Vie 20 Jul, 2018 8:48 pm

Me faltó decir que $n$ es impar, sorry...
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 20 Jul, 2018 10:20 pm

Solución $317$:
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Supongamos que todas las casillas tienen al menos dos segmentos rojos, luego, si separamos las casillas (contamos dos veces los segmentos que están en el interior del tablero), hay al menos $2n^2$ segmentos rojos. Pero como en el tablero original hay a lo sumo $n^2$ segmentos rojos, y como mucho podemos contarlos a todos dos veces, hay a lo sumo $2n^2$ segmentos rojos, de donde hay exactamente $2n^2$ segmentos rojos. Además, están todos en el interior del tablero.
Volvemos a juntar el tablero. Como $n$ es impar, sea $n=2k+1$, con $k$ natural. Entonces hay $2(2k+1)(2k+2)=8k^2+12k+4$ segmentos en el tablero, de los cuales $4(2k+1)=8k+4$ están en el borde, luego, hay $8k^2+4k$ segmentos en el interior del tablero, de los cuales $(2k+1)^2=4k^2+4k+1$ son rojos, luego, $4k^2-1$ son azules. Si volvemos a separar el tablero, en total hay $8k+4+2(4k^2-1)=8k^2+8k+2$ segmentos azules.
Por Palomar hay una casilla con no más de $$\left \lfloor \frac{8k^2+8k+2}{4k^2+4k+1}\right \rfloor =\left \lfloor 2-\frac{4}{(2k+1)^2}\right \rfloor =1$$ segmento azul, y por lo tanto al menos $3$ segmentos rojos.
Por Palomar hay una casilla con no más de $$\left \lfloor \frac{2(2k+1)^2-3}{(2k+1)^2-1}\right \rfloor =\left \lfloor 2-\frac{1}{4k(k+1)}\right \rfloor =1$$ segmento rojo, y por lo tanto al menos $3$ segmentos azules.
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jhn

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Dom 22 Jul, 2018 5:19 am

La primera parte está bien, pero cuando cuando comienzas a aplicar palomar no, porque la fracción $(8k^2+8k+2)/(4k^2+4k+1)$ es exactamente igual a 2.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 22 Jul, 2018 12:55 pm

Evidentemente le erré en un signo en el papel jejeje
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Joacoini

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Joacoini » Vie 03 Ago, 2018 10:50 pm

Solución 317:
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Rescató de Gianni que los $n^2$ segmentos están en el interior y que si hay un segmento en el borde entonces hay una casilla con tres lados azules.
Ahora paso el problema a cubrir un tablero de $n×n$ con 2 capas de fichas de dominó donde la ficha de dominó representa un lado pintado entre dos casillas.
Pintamos el tablero como ajedrez con una esquina negra, sea $n$ la cantidad de casillas negras y $b$ de blancas, ya que el tablero es impar $n=b+1$.
Cada ficha de dominó cubre una casilla blanca y otra negra y como hay que cubrir el tablero dos veces hay que cubrir $2n$ negras y $2b$ blancas pero $2n\neq 2b$ por lo que el tablero no se puede cubrir y hay segmentos en el borde lo que provoca que haya una casilla con tres lados azules.
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Joacoini

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 04 Ago, 2018 12:01 am

Problema 318
Jar Jar Binks invitó a $2018$ invitados con altos niveles de midiclorianos al senado. Cada invitado sabe cuáles de los invitados son Jedi y cuales son Sith, pero Jar Jar no lo sabe. Si un invitado es Jedi siempre dice la verdad y si es Sith a veces dice la verdad y a veces miente. Jar Jar le pregunta a cada invitado (en un orden que él elige) una sola pregunta, aunque puede hacer preguntas distintas a invitados distintos, y escucha las respuestas, que solo pueden ser “sí” o “no”. Habiendo escuchado todas las respuestas, Jar Jar le da poderes ejecutivos de emergencia a uno solo de los invitados, lo aparta de los demas y este a cambio le dice si el es Jedi o Sith. A continuación Jar Jar repite el proceso con los restantes invitados, y así siguiendo. Jar Jar puede detenerse después de cualquier respuesta y a continuación Jar Jar puede dar poderes o no a algún invitado. Demostrar que Jar Jar puede dar poderes a todos los Sith habiendo dado poderes, además, a lo sumo un solo Jedi.
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 04 Ago, 2018 12:58 am

Solución $318$:
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Para poner un poco de orden, Jar Jar acomoda a
invitados en una circunferencia. Decimos que Jar Jar asocia a dos invitados $a$ y $b$ si toma el par ordenado $(a,b)$ y le pregunta a $a$ "¿Es $b$ un Jedi?" y que estos invitados forma una asociación. Claramente asociar es una operación válida porque recibe por respuesta "Sí" o "No".
Jar Jar forma las $2018\times 2017$ asociaciones posibles, luego de haber escuchado todas las respuestas (y pedirle a R2 que las anote, para no olvidarlas) selecciona a un invitado cualquiera y le da poderes especiales, mientras el invitado no sea un Jedi, le da poderes especiales al invitado que le sigue al recorrer la circunferencia en sentido horario; la primera vez que el invitado es un Jedi (digamos Yoda), Jar Jar le pide a R2 que le muestre las respuestas de ese invitado (que sabe que son verdaderas por ser un Jedi) y le confiere poderes especiales a los que Yoda le dijo que no eran Jedi, y que por lo tanto son Sith. Entonces todos los Sith tienen poderes especiales mientras que el único Jedi con poderes especiales es Yoda. Si Jar Jar nunca encuentra un Jedi, entonces todos los invitados son Sith, y logra su objetivo.
Luego, Jar Jar siempre puede lograr lo pedido.

Nota: No estoy seguro si Jar Jar está obligado a hacer preguntas luego de otorgar poderes especiales a algún invitado, en cualquier caso, las hace pero no les presta atención luego de la primera vez que otorga poderes.
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 04 Ago, 2018 9:47 am

Gianni De Rico escribió:
Sab 04 Ago, 2018 12:58 am
Solución $318$:
Spoiler: mostrar
Para poner un poco de orden, Jar Jar acomoda a
invitados en una circunferencia. Decimos que Jar Jar asocia a dos invitados $a$ y $b$ si toma el par ordenado $(a,b)$ y le pregunta a $a$ "¿Es $b$ un Jedi?" y que estos invitados forma una asociación. Claramente asociar es una operación válida porque recibe por respuesta "Sí" o "No".
Jar Jar forma las $2018\times 2017$ asociaciones posibles, luego de haber escuchado todas las respuestas (y pedirle a R2 que las anote, para no olvidarlas) selecciona a un invitado cualquiera y le da poderes especiales, mientras el invitado no sea un Jedi, le da poderes especiales al invitado que le sigue al recorrer la circunferencia en sentido horario; la primera vez que el invitado es un Jedi (digamos Yoda), Jar Jar le pide a R2 que le muestre las respuestas de ese invitado (que sabe que son verdaderas por ser un Jedi) y le confiere poderes especiales a los que Yoda le dijo que no eran Jedi, y que por lo tanto son Sith. Entonces todos los Sith tienen poderes especiales mientras que el único Jedi con poderes especiales es Yoda. Si Jar Jar nunca encuentra un Jedi, entonces todos los invitados son Sith, y logra su objetivo.
Luego, Jar Jar siempre puede lograr lo pedido.

Nota: No estoy seguro si Jar Jar está obligado a hacer preguntas luego de otorgar poderes especiales a algún invitado, en cualquier caso, las hace pero no les presta atención luego de la primera vez que otorga poderes.
Aunque la redacción de la respuesta merece que subas el siguiente problema, está mal.
En el enunciado dice que Jar Jar luego de hacer una pregunta a cada invitado le da poderes a alguno.
La opción de no expulsar es para cuando en medio de una serie de preguntas Jar Jar para para reflexionar y elige o no dar poderes a alguno antes de seguir escuchando el resto de las respuestas (Lo cual no tiene sentido ya que tranquilamente puede escuchar el resto de las respuestas ignorarlas y darle poderes a alguno pero así estaba en el enunciado antes de mi modificación).

Para que se entienda bien dejemoslo en Jar Jar le da poderes a al $n$ invitado luego de haberle hecho $n$ preguntas a cada uno.
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