Provincial Ñandú 2014 - Nivel 1 - P1

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Pirógeno

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Provincial Ñandú 2014 - Nivel 1 - P1

Mensaje sin leer por Pirógeno » Mié 26 Jun, 2019 6:33 pm

Juan tiene bolitas blancas y rojas.
Cada día gana 2 bolitas blancas y pierde 3 rojas.
Al cabo de 10 días tiene igual cantidad de blancas que de rojas.
Al cabo de 18 días tiene el doble de blancas que de rojas.
¿Cuántas bolitas de cada color tenía al principio?
¿Cuántas bolitas de cada color tendrá después de 26 días?

ipuccia
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Re: Provincial Ñandú 2014 - Nivel 1 - P1

Mensaje sin leer por ipuccia » Vie 01 Nov, 2019 1:32 pm

me puede alguiel como se responde este probema, mil gracias


Juan tiene bolitas blancas y rojas.
Cada día gana 2 bolitas blancas y pierde 3 rojas.
Al cabo de 10 días tiene igual cantidad de blancas que de rojas.
Al cabo de 18 días tiene el doble de blancas que de rojas.
¿Cuántas bolitas de cada color tenía al principio?
¿Cuántas bolitas de cada color tendrá después de 26 días?
[/quote]

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Ivan

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Re: Provincial Ñandú 2014 - Nivel 1 - P1

Mensaje sin leer por Ivan » Vie 01 Nov, 2019 4:25 pm

Llamemos $B$ y $R$ a las cantidades de bolitas blancas y rojas que tiene Juan al principio.
Cada día gana 2 bolitas blancas y pierde 3 rojas.
Por lo tanto:
  • Después del primer día Juan tiene $B+2$ bolitas blancas y $R-3$ bolitas rojas.
  • Después del segundo día Juan tiene $B+2+2$ bolitas blancas y $R-3-3$ bolitas rojas.
  • Después del tercer día Juan tiene $B+2+2+2$ bolitas blancas y $R-3-3-3$ bolitas rojas.
  • ...
  • Después de $d$ días Juan tiene $B+2\times d$ bolitas blancas y $R-3\times d$ bolitas rojas.
Sabemos que
Al cabo de 10 días tiene igual cantidad de blancas que de rojas.
por lo tanto $B+2\times 10 = R-3\times 10$. O sea que $B+20 = R -30$, luego $B+50= R$.

Además
Al cabo de 18 días tiene el doble de blancas que de rojas.
por lo tanto $B+2\times 18 = 2\times (R-3\times 18)$. Luego $B+36 = 2R - 108$. O sea que $B +144 = 2R$.

Ahora debemos hallar los valores de $B$ y $R$:
$$\begin{align*}
B+50 &= R\\
B+144 &= 2R
\end{align*}$$

Podemos despejar $B$ de ambas ecuaciones:
$$\begin{align*}
B&= R-50\\
B&= 2R-144
\end{align*}$$
Podemos igualar $R-50 = B = 2R-144$. Y ahora nos queda una ecuación con una sola incógnita $R-50 = 2R-144$.

De aquí obtenemos $R=144-50 = 94$. Y ahora que conocemos el valor de $R$ podemos saber el valor de $B$ ya que $B=R-50=94-50=44$.

Por lo tanto al principio tenía $44$ bolitas blancas y $94$ bolitas rojas.

Después de $26$ días tendrá $44+2\times 26= 96$ bolitas blancas y $94-3\times 26 = 16$ bolitas rojas.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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AgusBarreto

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Re: Provincial Ñandú 2014 - Nivel 1 - P1

Mensaje sin leer por AgusBarreto » Sab 02 Nov, 2019 2:35 pm

Otra forma de verlo es la siguiente:

Cada día la diferencia entre las bolitas blancas y las bolitas rojas aumenta en $5$ (porque las blancas aumentan en $2$ y las rojas se reducen en $3$). Como en el día $10$ la diferencia es $0$, en el día $18$ la diferencia es $5 \times 8 = 40$. Tenemos entonces que en el día $18$ las blancas son $40$ bolitas más que las rojas, y además son el doble, y la única forma de que esto ocurra es que en el día $18$ Juan tenga $80$ blancas y $40$ rojas (uno podría plantear la ecuación $R+40 = 2R$ si quiere convencerse). Una vez que tenemos la cantidad de bolitas en el día $18$ hacemos la cuenta para saber las respuestas.

a) Inicialmente Juan tenía $Blancas = 80 - 2 \times 18 = 44$ y $Rojas = 40 + 3 \times 18 = 94$. Esta cuenta la hicimos empezando por lo que tenía Juan el día $18$, y le restamos $18$ veces $2$ a las blancas y sumamos $18$ veces $3$ a las rojas, para hacer el proceso inverso.

b) El día $26$ Juan tenía $Blancas = 44 + 2 \times 26 = 96$ y $Rojas = 94 - 3 \times 26 = 16$. Esta cuenta la hicimos con la información que obtuvimos en la parte a), sumándole $26$ veces $2$ a las blancas y restando $26$ veces $3$ a las rojas.

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