Lema sobre mediana y paralelas

[Caro - V3]

Sea [math]ABC un triángulo. Sea [math]D el punto medio [math]BC. Sean [math]X e [math]Y puntos en [math]AC y [math]AB. [math]AD biseca a [math]XY si y sólo si [math]XY \parallel BC.

[Caro - V3]

Demostración:

Spoiler: mostrar

Al ser un "si y sólo si" voy a hacer la demostración en dos partes.

1) Si [math]XY \parallel BC:
Sea [math]W el punto de intersección de [math]AD con [math]XY.
Por tener todos sus ángulos respectivamente congruentes: [math]AXW \sim ACD y [math]AWY \sim ADB. Por lo tanto, [math]\frac{AX}{AC} = \frac{XW}{CD} = \frac{AW}{AD} y [math]\frac{AD}{AB} = \frac{WY}{DB} = \frac{AY}{AB}.
Entonces [math]\frac{XW}{CD} = \frac{WY}{DB}, de donde obtenemos que [math]XW = WY \cdot \frac{CD}{DB} = WY. Es decir, [math]AD biseca a [math]XY.

2) En lugar de probar que "[math]AD biseca a [math]XY \Rightarrow XY \parallel BC", voy a probar algo equivalente (el contrarrecíproco): [math]XY \not\,\parallel BC \Rightarrow AD no biseca a [math]XY, y además eso lo voy a probar por el absurdo.
Supongamos que [math]XY \not\,\parallel BC:

Lema1.png

Sea [math]Z en [math]AB tal que [math]XZ \parallel BC.
Sean [math]W y [math]V los puntos de intersección de [math]AD con [math]XY y [math]XZ.
Por semejanza de triángulos, [math]V es el punto medio de [math]XZ.
Como además [math]W es el punto medio de [math]XY, tenemos que [math]VW es base media de [math]XYZ.
Por lo tanto [math]VW \parallel YZ, pero estas rectas se cortan en [math]A, contradicción.

[Fran5]

Otra forma de verlo es usando ceva y thales