Olimpiada de Mayo 2009 N2 P3

[BR1]

En la siguiente suma: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6$, si suprimimos los dos primeros signos “$+$” obtenemos la nueva suma $123 + 4 + 5 + 6 = 138$. Suprimiendo tres signos “$+$” podemos obtener $1 + 23 + 456 = 480$.
Consideremos ahora la suma $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13$, en la que se van a suprimir algunos signos “$+$”. ¿Cuáles son los tres menores múltiplos de $100$ que podemos obtener de esta forma?

[Joacoini]

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Si tenemos dos números $a$ y $b$ separados por un signo $+$, al inicio la suma es $a+b$, pero al quitarlo pasa a ser $a\times 10...0+b$ dónde $10...0$ tiene tantos dígitos $0$ como cifras tiene $b$, por lo tanto nuestra suma aumento en $a\times (10...0-1)=a\times 9...9$ por lo que nuestra suma solo puede aumentar de a múltiplos de $9$.
Al inicio la suma es $\frac{13\times 14}{2}=91$ y los primeros $3$ múltiplos de $100$ que están separados por un múltiplo de $9$ de $91$ son $100$, $1000$ y $1900$. Los ejemplos son los siguientes.
$100=12+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13$
$1000=1+23+4+5+6+7+8+910+11+12+13$
$1900=1+2+3+4+567+89+10+11+1213$