Selectivo Ibero 2023 - Problema 1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
El gran Filipikachu;

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Selectivo Ibero 2023 - Problema 1

Mensaje sin leer por El gran Filipikachu; »

a) Hallar todos los tríos de números primos $(p, q, r)$ tales que se verifica simultáneamente
  • $p+q+r$ no es múltiplo de 3;
  • $p+q+r$ y $pq+qr+rp+3$ son dos cuadrados perfectos.
b) Determinar si hay algún trío de números primos $(p, q, r)$ tales que se verifica simultáneamente
  • $p+q+r$ es múltiplo de 3;
  • $p+q+r$ y $pq+qr+rp+3$ son dos cuadrados perfectos.
Fedex

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Re: Selectivo Ibero 2023 - Problema 1

Mensaje sin leer por Fedex »

a)
Spoiler: mostrar
Como $p+q+r$ es un cuadrado no divisible por $3$ debe ser $p+q+r \equiv 1 \; (3)$. Por el mismo motivo deberá ser $pq + qr + rp \equiv 0, 1 \; (3)$ y entonces:
$$1 - (p^2 + q^2 + r^2) \equiv (p+q+r)^2 - (p^2 + q^2 + r^2) = 2(pq + qr + rp) \equiv 0, 2 \; (3)$$
Donde se sigue que $p^2 + q^2 + r^2 = 1,2 \; (3)$. Si fueran todos distintos a $3$, la suma de sus cuadrados sería $p^2 + q^2 + r^2 \equiv 1+1+1 \equiv 0 \; (3)$ que no puede pasar, luego uno de ellos deberá ser $3$ donde sin pérdida de generalidad podremos tomar $r=3$.
Si ahora suponemos $p$, $q$ impares el número $pq + 3p + 3q+ 3$ es par y al ser un cuadrado, divisible por $4$ por lo que será:
$$pq + 3p+3q+ 3 \equiv pq-p-q-1 \equiv 0 \; (4) \Rightarrow (p-1)(q-1) \equiv 2 \; (4)$$
Pero esto contradice que ambos sean impares ya que sino debería ser $(p-1)(q-1) \equiv 0 \; (4)$. Luego uno de ellos es par y supondremos de vuelta $q=2$. Entonces $p+5$ y $5p + 9$ deben ser cuadrados y considerando la expresión $5p + 9 = a^2 \Rightarrow 5p = (a-3)(a+3)$ donde podremos mirar los casitos de la factorización y concluir que $p = 11$, $a=8$ son la única solución.
De este modo las soluciones son $(p,q,r) = (11,2,3)$ y sus permutaciones.
b)
Spoiler: mostrar
Sí existe, un ejemplo sería $p=2$, $q=11$, $r=23$.
1  
This homie really did 1 at P6 and dipped.
Uriel J

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Re: Selectivo Ibero 2023 - Problema 1

Mensaje sin leer por Uriel J »

b)
Spoiler: mostrar
Sí, los hay.
Cualquiera de los siguientes funcionaria para $(p,q,r)$:
$( 2, 11 , 23)$
$( 2, 59 , 83)$
$( 2, 71 , 503)$
$( 2, 71 , 827)$
$( 2, 107 , 1187)$
$( 2, 191 , 14207)$
$( 2, 239 , 3359)$
$( 2, 239 , 49043)$
$( 2, 263 , 311)$
$( 2, 419 , 479)$
$( 2, 431 , 863)$
$( 2, 503 , 1259)$
$( 2, 503 , 93131)$
$( 2, 563 , 9839)$
$( 2, 599 , 13799)$
$( 2, 659 , 9743)$
$( 2, 743 , 33851)$
$( 2, 1151 , 19583)$
$( 2, 1187 , 71711)$
$( 2, 1259 , 42839)$
$( 2, 1259 , 48023)$
$( 2, 1583 , 37619)$
$( 2, 1619 , 24623)$
$( 2, 2111 , 2243)$
$( 2, 2351 , 110543)$
$( 2, 2699 , 70199)$
$( 2, 2843 , 7559)$
$( 2, 2963 , 3119)$
$( 2, 3347 , 31247)$
$( 2, 3623 , 93719)$
$( 2, 3863 , 93479)$
$( 2, 4523 , 116579)$
$( 2, 5099 , 5303)$
$( 2, 5279 , 115823)$
$( 2, 5471 , 17027)$
$( 2, 6959 , 114143)$
$( 2, 7451 , 65447)$
$( 2, 9239 , 13259)$
$( 2, 10331 , 141767)$
$( 2, 10691 , 49823)$
$( 2, 10691 , 98207)$
$( 2, 11087 , 101807)$
$( 2, 11519 , 25343)$
$( 2, 12011 , 12323)$
$( 2, 12743 , 112571)$
$( 2, 14699 , 29399)$
$( 2, 15443 , 141371)$
$( 2, 17891 , 158507)$
$( 2, 18539 , 102563)$
$( 2, 19979 , 29303)$
$( 2, 19979 , 182519)$
$( 2, 20327 , 49367)$
$( 2, 21839 , 22259)$
$( 2, 25031 , 108923)$
$( 2, 25343 , 44351)$
$( 2, 26711 , 66923)$
$( 2, 27143 , 27611)$
$( 2, 29663 , 67679)$
$( 2, 33179 , 158663)$
$( 2, 34019 , 108863)$
$( 2, 34583 , 35111)$
$( 2, 38231 , 87083)$
$( 2, 38543 , 82559)$
$( 2, 41183 , 41759)$
$( 2, 46511 , 47123)$
$( 2, 49139 , 192923)$
$( 2, 62639 , 123983)$
$( 2, 63839 , 178223)$
$( 2, 66959 , 152063)$
$( 2, 68399 , 191699)$
$( 2, 78623 , 175391)$
$( 2, 79559 , 180539)$
$( 2, 93983 , 148079)$
$( 2, 98639 , 120383)$
$( 2, 120539 , 121523)$
$( 2, 161879 , 163019)$
Última edición por Uriel J el Dom 06 Ago, 2023 10:03 am, editado 1 vez en total.
3  
Nice bro, congratulations!
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo Ibero 2023 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Uriel J escribió: Sab 05 Ago, 2023 10:11 pm b)
Spoiler: mostrar
Sí, los hay.
Cualquiera de los siguientes funcionaria para $(p,q,r)$:
2 11 23
2 59 83
2 71 503
2 71 827
2 107 1187
2 191 14207
2 239 3359
2 239 49043
2 263 311
2 419 479
2 431 863
2 503 1259
2 503 93131
2 563 9839
2 599 13799
2 659 9743
2 743 33851
2 1151 19583
2 1187 71711
2 1259 42839
2 1259 48023
2 1583 37619
2 1619 24623
2 2111 2243
2 2699 70199
2 2843 7559
2 2963 3119
2 3347 31247
2 3623 93719
2 3863 93479
2 5099 5303
2 5471 17027
2 7451 65447
2 9239 13259
2 10691 49823
2 10691 98207
2 11519 25343
2 12011 12323
2 14699 29399
2 19979 29303
2 20327 49367
2 21839 22259
2 25343 44351
2 26711 66923
2 27143 27611
2 29663 67679
2 34583 35111
2 38231 87083
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El olímpico con menos tiempo libre en un selectivo
1  
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Ignacio Daniele

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Re: Selectivo Ibero 2023 - Problema 1

Mensaje sin leer por Ignacio Daniele »

Spoiler: mostrar
a) p+q+r≡1(3) por ser cuadrado perfecto y no múltiplo de 3.
Si ningún número es divisible por 3:
p≡q≡1(3)
r≡2(3)
Es indistinto cuál es cuál, por eso los puse en ese orden.
Entonces:
pq+qr+rp+3≡2(3) Absurdo, no podría ser un cuadrado perfecto, entonces, uno de los números (elijo p) es congruente a 0 módulo 3, entonces, al ser primos, p=3.
Reviso dos casos:
q=2:
Sólo hay un caso que cumple, que es (2;3;11), que se puede probar al tener 5+r=x² y 9+5r=y², entonces 5r=y²-9, entonces 5r=(y-3)(y+3) por lo que 5=y-3, 5=y+3 o 1=y-3, sirviendo solo el de 5=y-3 siendo y=8 y r=11.
Si q≠2 y r≠2:
Pruebo módulo 4, q≡r(4) para que la suma de los dos sea congruente a 2 módulo 4, y al sumarle 3, sea congruente a 1 módulo 4, a su vez, deben ser ambos congruentes a 2 módulo 3, para que su suma (junto con p=3) sea congruente a 1 módulo 3, pues si q=3 queda que 12+6r=6(2+r)=y² siendo 2+r par, siendo r par, siendo r=2, pero no cumple. Entonces, q≡r(12).
P=3
Q=R≡q≡r(12) y 0<=Q=R<12
QR+3Q+3R+3≡k(12)
k={0;1;4;9}
QR+3Q+3R+3=Q²+6Q+3
Q=R={5;11}
En cada caso:
5²+6.5+3=25+30+3=58≡10(12) Absurdo
11²+6.11+3=121+66+3=190≡10(12) Absurdo
En conclusión q=2.
Entonces, las soluciones son todas las permutaciones de (2;3;11).
b) Sí, se puede, por ejemplo, (2;11;23).
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drynshock

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Re: Selectivo Ibero 2023 - Problema 1

Mensaje sin leer por drynshock »

Fedex escribió: Sab 05 Ago, 2023 5:32 pm Como $p+q+r$ es un cuadrado no divisible por $3$ debe ser $p+q+r \equiv 1 \; (3)$. Por el mismo motivo deberá ser $pq + qr + rp \equiv 0, 1 \; (3)$
De donde sale que solo puede ser resto 1? Osea que relacion hay con que sea cuadrado perfecto? porque 7 + 13 +3 tiene resto 2 mod 3 aunque no sea cuadrado perfecto...
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drynshock

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Re: Selectivo Ibero 2023 - Problema 1

Mensaje sin leer por drynshock »

Bueno me auto-respondo con algo que me dijo jaz zhang:

Un cuadrado perfecto solamente puede tener resto 0 o 1 en la division por 3.

Demo:
Digamos que tenemos los numeros 3k, 3k+1, 3k+2.

$(3k)^2=9k$ Resto 0
$(3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1$ Resto 1
$(3k+2)^2=9k^2 +6k + 4$ Resto 1

Como el problema no puede tener resto 0, entonces p + q + r tiene resto 1 en la division por 3.
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