Como $p+q+r$ es un cuadrado no divisible por $3$ debe ser $p+q+r \equiv 1 \; (3)$. Por el mismo motivo deberá ser $pq + qr + rp \equiv 0, 1 \; (3)$ y entonces:
$$1 - (p^2 + q^2 + r^2) \equiv (p+q+r)^2 - (p^2 + q^2 + r^2) = 2(pq + qr + rp) \equiv 0, 2 \; (3)$$
Donde se sigue que $p^2 + q^2 + r^2 = 1,2 \; (3)$. Si fueran todos distintos a $3$, la suma de sus cuadrados sería $p^2 + q^2 + r^2 \equiv 1+1+1 \equiv 0 \; (3)$ que no puede pasar, luego uno de ellos deberá ser $3$ donde sin pérdida de generalidad podremos tomar $r=3$.
Si ahora suponemos $p$, $q$ impares el número $pq + 3p + 3q+ 3$ es par y al ser un cuadrado, divisible por $4$ por lo que será:
$$pq + 3p+3q+ 3 \equiv pq-p-q-1 \equiv 0 \; (4) \Rightarrow (p-1)(q-1) \equiv 2 \; (4)$$
Pero esto contradice que ambos sean impares ya que sino debería ser $(p-1)(q-1) \equiv 0 \; (4)$. Luego uno de ellos es par y supondremos de vuelta $q=2$. Entonces $p+5$ y $5p + 9$ deben ser cuadrados y considerando la expresión $5p + 9 = a^2 \Rightarrow 5p = (a-3)(a+3)$ donde podremos mirar los casitos de la factorización y concluir que $p = 11$, $a=8$ son la única solución.
De este modo las soluciones son $(p,q,r) = (11,2,3)$ y sus permutaciones.
a) p+q+r≡1(3) por ser cuadrado perfecto y no múltiplo de 3.
Si ningún número es divisible por 3:
p≡q≡1(3)
r≡2(3)
Es indistinto cuál es cuál, por eso los puse en ese orden.
Entonces:
pq+qr+rp+3≡2(3) Absurdo, no podría ser un cuadrado perfecto, entonces, uno de los números (elijo p) es congruente a 0 módulo 3, entonces, al ser primos, p=3.
Reviso dos casos:
q=2:
Sólo hay un caso que cumple, que es (2;3;11), que se puede probar al tener 5+r=x² y 9+5r=y², entonces 5r=y²-9, entonces 5r=(y-3)(y+3) por lo que 5=y-3, 5=y+3 o 1=y-3, sirviendo solo el de 5=y-3 siendo y=8 y r=11.
Si q≠2 y r≠2:
Pruebo módulo 4, q≡r(4) para que la suma de los dos sea congruente a 2 módulo 4, y al sumarle 3, sea congruente a 1 módulo 4, a su vez, deben ser ambos congruentes a 2 módulo 3, para que su suma (junto con p=3) sea congruente a 1 módulo 3, pues si q=3 queda que 12+6r=6(2+r)=y² siendo 2+r par, siendo r par, siendo r=2, pero no cumple. Entonces, q≡r(12).
P=3
Q=R≡q≡r(12) y 0<=Q=R<12
QR+3Q+3R+3≡k(12)
k={0;1;4;9}
QR+3Q+3R+3=Q²+6Q+3
Q=R={5;11}
En cada caso:
5²+6.5+3=25+30+3=58≡10(12) Absurdo
11²+6.11+3=121+66+3=190≡10(12) Absurdo
En conclusión q=2.
Entonces, las soluciones son todas las permutaciones de (2;3;11).
b) Sí, se puede, por ejemplo, (2;11;23).
Fedex escribió: ↑Sab 05 Ago, 2023 5:32 pm
Como $p+q+r$ es un cuadrado no divisible por $3$ debe ser $p+q+r \equiv 1 \; (3)$. Por el mismo motivo deberá ser $pq + qr + rp \equiv 0, 1 \; (3)$
De donde sale que solo puede ser resto 1? Osea que relacion hay con que sea cuadrado perfecto? porque 7 + 13 +3 tiene resto 2 mod 3 aunque no sea cuadrado perfecto...
@Bauti.md ig // FUI A CORDOBA!!!!!! // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$
