Rioplatense 2022 - N1 P1

[Matías V5]

Hallar tres números impares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea un número de cuatro dígitos iguales.
Nota: Por ejemplo, $13$, $15$ y $17$ son tres números impares consecutivos.

[MathIQ]

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Denominemos a estos tres números impares consecutivos como $B$, $A$ y $C$, donde $B$ $<$ $A$ $<C$, entonces sabemos que $B^2$ + $A^2$ + $C^2$ = $X$, donde $X$ es un número de 4 dígitos iguales, partiendo de que $A$ es el número del medio, y al ser estos números impares consecutivos, entonces podemos decir que $B = A - 2$, $C = A +2$, por lo que: $$X = (A - 2)^2 + A^2 + (A + 2)^2$$
Descomponiendo obtenemos que: $$X = (A - 2).(A - 2) + A.A + (A + 2).(A + 2)$$
Si seguimos descomponiendo obtenemos que: $$X = A^2 - 2A - 2A + 4 + A^2 + A^2 + 2A + 2A +4$$
Acomodando: $$X = A^2 + A^2 + A^2 + 2A + 2A - 2A - 2A + 4 + 4$$
Resolviendo: $$X = A^2 + A^2 + A^2 + 8$$
Simplificando finalmente obtenemos que: $$X = 3.A^2 + 8$$
Analizando los posibles valores de $X$ encontramos que $X$ puede ser igual a: $1111$, $2222$, $3333$, $4444$, $5555$, $6666$, $7777$, $8888$ y $9999$.
Intentando resolver la ecuación planteada anteriormente en $\mathbb{Z}$, obtenemos que el único valor posible de $X$ es $5555$, quedando la ecuación así: $$5555 = 3.A^2 + 8$$
Resolviendo:
$$5555 - 8 = 3.A^2 $$
$$\frac{5547}{3} = A^2$$
$$\sqrt{1849 }= A$$
$$\pm 43 = A$$
Por lo tanto los números que satisfacen las condiciones del enunciado son: $41$, $43$ y $45$ y $-41$,$-43$ y $-45$.

[marcoalonzo]

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Sean $2k+1, 2k+3$ y $2k+5$, con $k$ entero, los números impares consecutivos pedidos. Sus cuadrados son $4k^2+4k+1, 4k^2+12k+9$ y $4k^2+20k+25$ respectivamente, con lo cual su suma es $12k^2+36k+35$, que debe ser un número de cuatro cifras iguales, digamos $\overline{aaaa}=1111\cdot a$, con $a$ un dígito. Se sigue que $12k^2+36k+35=1111\cdot a$, donde tomando módulo $12$ se obtiene $11\equiv 7a \pmod{12}$. Luego $5a\equiv (-7a)\equiv -7a\equiv -11\equiv 1 \pmod{12}$, por lo tanto $a=5$ ya que lo definimos como un dígito y debe ser congruente al inverso de $5$ en módulo $12$. Por ende, $12k^2+36k+35=5555$, que al resolver la cuadrática se obtienen como posibles valores de $k$, $k_1=20, k_2=-23$. Finalmente los números pedidos pueden ser $41, 43$ y $45$ o $-45, -43$ y $-41$

[magnus]

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Podemos plantear una ecuación tal que $\overline{n_3n_2n_1n_0}= x^2+(x+2)^2+(x+4)^2$ teniendo en cuenta que $\overline{n_3n_2n_1n_0}$ es un número de $4$ cifras tal que ninguna es $0$ y que $n_3=n_2=n_1=n_0$. También $x$ es un número es impar entonces el siguiente número impar será $n+2$ ya que si $n\equiv 1 \mod 2 \Rightarrow n+1\equiv 1+1 \equiv 0 \mod 2$ y sería par. Podemos dessarrolar la primera ecuación:
$$\overline{n_3n_2n_1n_0}= x^2+(x+2)^2+(x+4)^2$$
$$\overline{n_3n_2n_1n_0}=x^2+x^2+4\times x+ 4 +x^2 + 8\times x +16$$
$$\overline{n_3n_2n_1n_0}= 3\times x^2+12\times x+20$$
$$0=3\times x^2+12\times x + 20 - \overline{n_3n_2n_1n_0}$$.
Ahora que igualamos a $0$ podemos resolver las ecuaciones con la formula cuadrática:
$*$ Para $\overline{n_3n_2n_1n_0} =1111 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{3309}}{3}$ o $-\frac{\sqrt{3309}}{3}$ que como son enteros ni impares valga la redundancia $\overline{n_3n_2n_1n_0} \neq 1111$.
$*$ Para $\overline{n_3n_2n_1n_0}=2222 \Rightarrow x=3\times \sqrt{82}$ o $-3\times \sqrt{82}$ que como no son enteros ni impares valga la redundancia $\overline{n_3n_2n_1n_0} \neq 2222$.
$*$ Para $\overline{n_3n_2n_1n_0}=3333 \Rightarrow x= \frac{5\times \sqrt {399}}{3}$ o $-\frac {5\times \sqrt {399}}{3}$ que como no son enteros ni impares valga la redundancia $\overline{n_3n_2n_1n_0}\neq 3333$.
$*$ Para $\overline{n_3n_2n_1n_0}=4444 \Rightarrow x= \frac{2\times \sqrt{3327}}{3}-2$ o $-\frac{2\times \sqrt{3327}}{3}-2$ que como no son enteros ni impares valga la redundancia $\overline{n_3n_2n_1n_0}\neq 4444$.
$*$ Para $\overline{n_3n_2n_1n_0}=5555 \Rightarrow x=41$ o $-45$. Entonces dos posibles tríos son $41,43,45$ y $-45,-43,-41$