En una compañía hay $88$ accionistas. Se cumple que cualesquiera $58$ accionistas tienen al menos $54\%$ de las acciones de la compañía. Sabemos que bajo estas condiciones, un accionista en particular puede tener como máximo $n\%$ de las acciones de la compañía, determine el valor de $n$.
Sean $a_1, a_2, ..., a_{88}$ el valor que tienen los $88$ accionistas de la empresa, sea $WLOG$:
$a_1+a_2+...+a_{88} = 100$ y tenemos que $\sum_{58} a_i \geq 54$, lo que nos implica que $\sum_{30} a_i \leq 46$.
Si $WLOG$ también $a_1 = max(a_i) = n$ donde $a_2 + ... + a_{88} = 100-n$.
Sumando todas las sumas de $29$ elementos de $a_i$ con $2 \leq i \leq 88$:
$\sum \sum_{29} a_i = \binom{86}{28} (a_2 + ... + a_{88}) = \binom{86}{28} (100-n) \leq \binom{87}{29} max(\sum_{29} a_i) $
$ \frac{\binom{86}{28}}{\binom{87}{29}} (100-n) = \frac{29}{87}(100-n) \leq max(\sum_{29} a_i) $
$\frac{29}{87}(100-n) + n \leq max(\sum_{29} a_i) + a_1 \leq 46$
$n \leq 19$
Con igualdad si y solo si $a_1=19$ y $a_2=...=a_{88}=\frac{81}{87}$
