Selectivo Ibero 2021 - P5

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Gianni De Rico

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Selectivo Ibero 2021 - P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Hallar todos los enteros positivos $d$ con la siguiente propiedad: existe un entero $k\geq 3$ tal que los $k$ números $d,2d,3d,\ldots ,kd$ se pueden ordenar en una sucesión de manera que las $k-1$ sumas de dos términos consecutivos sean todos cuadrados perfectos.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
EmRuzak

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Re: Selectivo Ibero 2021 - P5

Mensaje sin leer por EmRuzak »

Spoiler: mostrar
digamos que $a_1$, $a_2$ ... $a_k$ es la permutación
Si $d$ no es cuadrado, $d$ tiene algún factor primo con exponente impar, entonces como $d(a_x+a_{x-1})$ tiene sus factores primos con exponentes pares, $(a_x+a_{x+1})$, también tiene ese factor primo con exponente impar, por lo que ese exponente es mayor a $0$, digamos que ese primo es $p$
entonces $p|a_x+a_{x-1}$ y $p|a_{x-1}+a_{x-2}$, $a_x\equiv{-a_{x-1}}$ $mod$ $p$ y $-a_{x-1}\equiv{a_{x-2}}$ $mod$ $p$,
pero si $p\geq{3}$, entonces aparecen solo dos restos distintos modulo $p$, pero como tienen que estar todos los números entre $1$ y $k\geq{3}$ debe haber mas de $3$ restos distintos, contradicción.

Si $d$ es cuadrado se puede con la permutación:
$8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9$ ya que la suma de dos consecutivos es un cuadrado.

$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 8, 17, 32, 4, 5, 11, 14, 2, 34, 30, 19, 45, 36, 13, 12, 24, 25, 39, 42, 22, 27, 37, 44, 20, 16, 33, 31, 18, 46, 35, 29, 7, 9, 40, 41, 23, 26, 38, 43$ tambien sirve
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