Primero vamos a demostrar que el $2$ es un factor primo de $N$
Supongamos que no lo es, luego $a$ y $b$ son factores primos de $N$, entonces $a + b \mid N$
Como $a$ y $b$ son primos y diferentes a $2$, son impares. Entonces $a + b$ es par pero como dijimos que el $2$ no apardece en la factorización en primos de $N$, tenemos un absurdo
Luego, $2$ es un factor primo de $N$
Ahora demostremos que $N$ tiene $3$ o más factores primos
Supongamos que tiene dos, $2$ y $b$, luego $2 + b \mid N$ que es un absurdo ya que es facil ver que $2 + b$ es coprimo con $2$ y con $b$ y como son los unicos factores primos de $N$, $2 + b$ no divide a $N$. Entonces $N$ tiene $3$ o más factores primos
Ahora demostraremos que $3$ es un factor primo de $N$
Supongamos que $N$ tiene $k$ factores primos en su factorización , $2$, $p_2$, $p_3$.....$p_k$ y $N = 2^{a_1} . p_2^{a_2}. p_3^{a_3}$....... $. p_k^{a_k}$
Con el mismo razomiento que antes, $2 + p_2$ es coprimo con $2$ y con $p_2$, luego si $2 + p_2 \mid N$ $ \Rightarrow $ $2 + p_2 \mid p_3^{a_3}$....... $. p_k^{a_k}$
Luego es facil ver que $2 + p_2$ es coprimo con $p_4$,$p_5$ .... y $p_k$ ya que $p_i$ es primo con $1 < i < k + 1$ y ademas $2 + p_2 < p_i$ para todo $i$ mayor o igual a $4$
Entonces $2 + p_2 \mid p_3^{a_3}$, luego como $p_2$ y $p_3$ son primos, $1 < 2 + p_2 \leq p_3$ pero como $2 + p_2 \mid p_3^{a_3}$ tenemos que $p_2 + 2 = p_3$
Luego, hay 3 posibles casos:
$p_2 \equiv 0 \pmod{3}$: En este caso, ya tenemos que $N$ tiene al $3$ como factor primo
$p_2 \equiv 1 \pmod{3}$: Entonces $p_2 + 2\equiv 0 \pmod{3}$ lo que significa que $N$ es múltiplo de $3$ por ende el $3$ aparece como factor primo
$p_2 \equiv 2 \pmod{3}$: En este caso tenemos que $p_2 + 2\equiv 1 \pmod{3}$ $ \Rightarrow $ $p_3\equiv 1 \pmod{3}$. Luego $p_2 + p_3 \equiv 0 \pmod{3}$ por lo que $N$ es múltiplo de $3$ y tiene al factor $3$ en su factorización
Entonces ya tenemos que $N = 2^{a_1} . 3^{a_2}. p_3^{k_3}$....... $. p_k^{a_k}$
Además obligatoriamente, $2 + 3$ divide a $N$ por ende el $5$ también aparece en la factorización de primos de $N$
También, $3 + 5$ divide a $N$ por ende $a_1 \geq 3$, como buscamos que sea lo menor posible, $a_1 = 3$
Después, $2 + 5$ divide a $N$ entonces el factor $7$ aparece en la factorización en primos de $N$
Luego, $2 + 7$ divide a $N$ por ende $a_2 \geq 2$, como buscamos que sea lo menor posible, $a_2 = 2$
Después $3 + 7$ divide a $N$ algo que ya se cumple porque $10 = 2 . 5$ que los dos numeros aparecen en la factorizacion de $N$
Por ultimo, $5 + 7$ divide a $N$ algo que ya cumple pues el factor $12 = 3 . 2 . 2$ y se puede ver que el exponente del factor $2$ es mayor a $2$ y el factor $3$ aparece en la factorización de $N$
luego el menor $N$ es $N = 2^3 . 3^2. 5 . 7 = 2520$
