Rioplatense 2009 N2 P4

[Joacoini]

Hallar todos los enteros $n > 1$ que se pueden representar como suma de $4$ divisores de $n-1$ positivos y distintos entre sí.

[Dauphineg]

Spoiler: mostrar

Sean $d_{1},d_{2},d_{3},d_{4}$ cuatro divisores positivos del número $n-1$ que sumados dan como resultado $n$ y supongamos que $d_{1}< d_{2}< d_{3}< d_{4}$, consideremos los cuatro números $a_{1}=\frac{n-1}{d_{1}},a_{2}=\frac{n-1}{d_{2}},a_{3}=\frac{n-1}{d_{3}},a_{4}=\frac{n-1}{d_{4}}$ es claro que todos estos números son también divisores de $n-1$ y además $a_{4}< a_{3}< a_{2}< a_{1}$
Como $d_{1}+ d_{2}+ d_{3}+ d_{4}=n \Rightarrow \frac{n-1}{a_{1}}+ \frac{n-1}{a_{2}}+\frac{n-1}{a_{3}}+\frac{n-1}{a_{4}}=(n-1)+1\Rightarrow \frac{1}{a_{1}}+ \frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}=1+\frac{1}{n-1}> 1 $
La suma de los inversos multiplicativos de los $a_{i}$ debe ser superior a $1$
El menor de estos números, o sea $a_{4}$ no puede ser $1$ porque en ese caso $d_{4}=n-1\Rightarrow d_{1}+ d_{2}+ d_{3}+ d_{4}\geq 1+2+3+n-1=n+5> n $ y llegamos a un absurdo. Veamos que ocurre si $a_{4}\geq 3$ en ese caso tendríamos que $\frac{1}{a_{1}}+ \frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}\leq\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{19}{20}< 1$ y llegamos a un absurdo, luego $a_{4}=2$
Caso 1: Si $a_{3}=3$
Como $2$ y $3$ son divisores coprimos de $n-1$ entonces $n-1$ es múltiplo de $6$. Como $n\geq2 \Rightarrow n-1\geq 1 $
Es decir, que el menor valor que puede tomar $n-1$ es $6$, pero los únicos divisores positivos de $6$ son $1,2,3,$ y $6$ que sumados dan $12\neq 7$
Luego $n-1\neq 6$,veamos que si $n-1$ es un múltiplo positivo cualquiera de $6$ y mayor que $6$ entonces cumple lo planteado en el problema
Si $n-1=6k$ con $k> 1$ y $k$ natural, dicho número $6k$ tiene con seguridad como divisores a $d_{1}=1,d_{2}=k,d_{3}=2k,d_{4}=3k$, es claro que los cuatro son distintos porque $k> 1$ y además $d_{1}+ d_{2}+ d_{3}+ d_{4}=1+6k=n$
Cabe aclarar que de acá en adelante no se considerara ningún $a_{i}$ como múltiplo de $3$ ya que de ser así $n-1$ volvería a ser múltiplo de $6$ y esto ya se analizo.
Caso 2: Si $a_{3}=4$
Como $\frac{n-1}{a_{1}}+ \frac{n-1}{a_{2}}+\frac{n-1}{a_{3}}+\frac{n-1}{a_{4}}=(n-1)+1\Rightarrow \left ( n-1 \right ).\left ( \frac{1}{a_{1}}+ \frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}-1 \right )=1$
$\Rightarrow n-1=\frac{a_{1}.a_{2}.a_{3}.a_{4}}{a_{2}.a_{3}.a_{4}+a_{1}.a_{3}.a_{4}+a_{1}.a_{2}.a_{4}+a_{1}.a_{2}.a_{3}-a_{1}.a_{2}.a_{3}.a_{4}} $ y reemplazando $a_{4}=2$ y $a_{3}=4$ en esta última igualdad tenemos
$ n-1=\frac{a_{1}.a_{2}.8}{a_{2}.8+a_{1}.8+a_{1}.a_{2}.2+a_{1}.a_{2}.4-a_{1}.a_{2}.8} \Rightarrow n-1=\frac{a_{1}.a_{2}.4}{a_{2}.4+a_{1}.4-a_{1}.a_{2}} $ $(*)$
Si $a_{2}\geq 8 \Rightarrow \frac{1}{a_{1}}+ \frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}\leq\frac{1}{10}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{39}{40}< 1$ esto es un absurdo nuevamente, luego $ a_{2}=5$ o $ a_{2}=7$
$\bullet$ Si $ a_{2}=5$ al reemplazar en $(*)$ tenemos $n-1=\frac{a_{1}.20}{20+a_{1}.4-a_{1}.5}=20.\frac{a_{1}}{20-a_{1}}$ y como $n-1$ es divisible con seguridad por $2$, por $4$ y por $5$ entonces sera divisible con seguridad por $m.c.m(2,4,5)=20$, luego $\frac{a_{1}}{20-a_{1}}$ es un número natural (su numerador es natural así que el denominador es también sera natural), luego también sera natural el número $\frac{a_{1}}{20-a_{1}}+1=\frac{20}{20-a_{1}}\Rightarrow 20-a_{1}\mid 20$ asi los valores posible de $20-a_{1}$ son $1,2,4,5$ y $10$, el $20$ no porque $20-a_{1}\leq 20-6=14$ vamos a probar con cada uno de esto $5$ posibles valores de $20-a_{1}$
$\cdot$ Si $20-a_{1}=1\Rightarrow a_{1}=19 \Rightarrow n-1=20.\frac{19}{1}=380 \Rightarrow n=381$ que verifica lo pedido en el problema tomando como valores de $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ y $d_{4}$ a los números $20,76,95$ y $190$ respectivamente que son todos divisores de $380$
$\cdot$ Si $20-a_{1}=2\Rightarrow a_{1}=18 \Rightarrow n-1=20.\frac{18}{2}=180 \Rightarrow n=181$ que verifica lo pedido en el problema tomando como valores de $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ y $d_{4}$ a los números $10,36,45$ y $90$ respectivamente que son todos divisores de $180$
$\cdot$ Si $20-a_{1}=4\Rightarrow a_{1}=16 \Rightarrow n-1=20.\frac{16}{4}=80 \Rightarrow n=81$ que verifica lo pedido en el problema tomando como valores de $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ y $d_{4}$ a los números $5,16,20$ y $40$ respectivamente que son todos divisores de $80$
$\cdot$ Si $20-a_{1}=5\Rightarrow a_{1}=15 \Rightarrow n-1=20.\frac{15}{5}=60 \Rightarrow n=61$ que verifica lo pedido en el problema tomando como valores de $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ y $d_{4}$ a los números $4,12,15$ y $30$ respectivamente que son todos divisores de $60$
$\cdot$ Si $20-a_{1}=10\Rightarrow a_{1}=10 \Rightarrow n-1=20.\frac{10}{10}=20 \Rightarrow n=21$ que verifica lo pedido en el problema tomando como valores de $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ y $d_{4}$ a los números $2,4,5$ y $10$ respectivamente que son todos divisores de $20$
$\bullet$ Si $ a_{2}=7$ al reemplazar en $(*)$ tenemos $n-1=\frac{a_{1}.28}{28+a_{1}.4-a_{1}.7}=28.\frac{a_{1}}{28-3a_{1}}$ y como $n-1$ es divisible con seguridad por $2$, por $4$ y por $7$ entonces sera divisible con seguridad por $m.c.m(2,4,7)=28$, luego $\frac{a_{1}}{28-3a_{1}}$ es un número natural (su numerador es natural así que el denominador es también sera natural) $ \Rightarrow 28-3.a_{1}\geq 1\Rightarrow 9\geq a_{1}$, descartando el valor $9$ que es múltiplo de $3$ y sabiendo que $a_{1}\geq 8$ solo nos queda una posibilidad que es $a_{1}= 8$
$\cdot$ Si $ a_{1}=8 \Rightarrow n-1=28.\frac{8}{28-3.8}=56 \Rightarrow n=57$ que verifica lo pedido en el problema tomando como valores de $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ y $d_{4}$ a los números $7,8,14$ y $28$ respectivamente que son todos divisores de $56$
Caso 3 : Si $a_{3}\geq 5\Rightarrow a_{2}\geq 7 \Rightarrow a_{1}\geq 8\Rightarrow \frac{1}{a_{1}}+ \frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}\leq\frac{1}{8}+\frac{1}{7}+\frac{1}{5}+\frac{1}{2}=\frac{271}{280}< 1$ y llegamos a un absurdo
Respuesta: los posibles valores de $n$ son los siguientes $381,181,81,61,21,57$ y todos números mayores que $7$ que tienen resto $1$ en la división por $6$