Nacional 2019 N1 P5

[LuchoLP]

Hallar el mayor número entero capicúa de $5$ dígitos que es divisible por $101$.

Aclaración: Un número es capicúa si se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

[axelO]

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El mayor número entero capicúa de $5$ dígitos divisible por $101$ es $49894$ y a continuación lo voy a demostrar.
Veamos que el último número divisible por $101$ que tiene como primer dígito a $4$ es $49894$ + $101$= $49995$ por lo que ahora tenemos que buscar un número de $5$ dígitos divisible por $101$ y capicúa que tenga como primer y último dígito a $5$ . Ahora, el primer número que tiene como primer y último dígito a $5$ es $51005$ y para que el número vuelva a tener el primer y último dígito le debemos sumar $1010$ , pero además de que el número tenga a su primer y último dígito iguales entre sí también debe tener al segundo y cuarto dígito iguales entre sí, pero cuando le sumamos $1010$ a $51005$ le sumamos el mismo valor al segundo y al cuarto dígito y como antes de hacer esta operación ellos no tenían el mismo valor entonces nunca va a haber un número de $5$ dígitos divisible por $101$ y capicúa que tenga como primer dígito a $5$.
Después de analizar este caso,podemos decir que si el primer número de $5$ dígitos que es divisible por $101$ y tiene al primer y último dígito iguales entre sí y iguales a $6$,$7$,$8$ o $9$ (pongo estos valores porque todavía no los analizamos) y no tiene al segundo y cuarto dígito iguales entre sí, entonces no habrá un número de $5$ dígitos divisible por $101$ y capicúa que tenga como primer dígito a $6$,$7$,$8$ o $9$ ( estos valores porque son los que nos faltan analizar) .
Ahora,como el primer número de $5$ dígitos divisible por $101$ y que tiene como primer y último dígito a $6$ es $60196$ , entonces no existe número de $5$ dígitos divisible por $101$ y capicúa que tenga como primer dígito a $6$.
Luego, como el primer número de $5$ dígitos divisible por $101$ y que tiene como primer y último dígito a $7$ es $70397$ , entonces no existe número de $5$ dígitos divisible por $101$ y capicúa que tenga como primer dígito a $7$ .
Después,como el primer número de $5$ dígitos divisible por $101$ y que tiene como primer y último dígito a $8$ es $50598$ , entonces no existe número de $5$ dígitos divisible por $101$ y capicúa que tenga como primer dígito a $8$.
Y por último , como el primer número de $5$ dígitos divisible por $101$ y que tiene como primer y último dígito a $9$ es $90799$ , entonces no existe número de $5$ dígitos divisible por $101$ y capicúa que tenga como primer dígito a $9$.
Así queda demostrado que el mayor entero capicúa de $5$ dígitos que es divisible por $101$ es $49894$.[\spoiler]

[Martín Lupin]

Solución:

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Tenemos que el número $\overline{abcba}=10000a+1000b+100c+10b+a=10001a+1010b+100c$ tiene que ser divisible por $101$. Claramente $101\mid 1010b$, por lo que necesitamos $101\mid 10001a+100c$. Además tomamos $b=9$ ya que buscamos el mayor valor posible de $\overline{abcba}$. Como $10001\equiv 2 \pmod{101}$ y $100\equiv -1 \pmod{101}$, tenemos que $10001a+100c\equiv 2a-c \pmod{101}$. Luego queremos que $2a-c\equiv 0 \pmod{101}$, pero obviamente $2a-c<101$, por lo que esto es equivalente a $2a-c=0 \Leftrightarrow 2a=c$. Entonces $a=4$ y $c=8$, y tenemos que el número buscado es $49894$.

[tuvie]

Solución:

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Tenemos que el número $\overline{abcba}=10000a+1000b+100c+10b+a=10001a+1010b+100c$ tiene que ser divisible por $101$. Claramente $101\mid 1010b$, por lo que necesitamos $101\mid 10001a+100c$. Además tomamos $b=9$ ya que buscamos el mayor valor posible de $\overline{abcba}$. Como $10001\equiv 2 \pmod{101}$ y $100\equiv -1 \pmod{101}$, tenemos que $10001a+100c\equiv 2a-c \pmod{101}$. Luego queremos que $2a-c\equiv 0 \pmod{101}$, pero obviamente $2a-c<101$, por lo que esto es equivalente a $2a-c=0 \Leftrightarrow 2a=c$. Entonces $a=4$ y $c=8$, y tenemos que el número buscado es $49894$.

Un pequeño detalle:

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Si bien es cierto que $2a-c < 101,$ para afirmar que $2a=c$ tambien debemos probar que $2a-c > -101,$ que vale trivialmente.