Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 5

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ésta

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Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por ésta » Sab 12 Nov, 2011 4:35 pm

Hallar todos los enteros [math] tales que [math] y [math] es divisible por [math].
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No, manzana
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Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por No, manzana » Dom 13 Nov, 2011 12:56 am

Una version sin abecedario de mi solución:
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Primero, cómo [math].

Segundo, cómo [math].

Tercero [math] para [math] enteros distintos, entonces [math].

Cuarto, de lo segundo y lo tercero se obtiene: [math], entonces [math].

De lo primero y lo cuarto, el único entero [math] que cumple con lo pedido es [math].
[math], Posta!
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Sea [math] un real, veamos que: [math], entonces [math].

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Vladislao

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Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por Vladislao » Dom 13 Nov, 2011 12:21 pm

Tenés un error que invalida todo:
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Si [math] entonces [math].
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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No, manzana
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Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por No, manzana » Dom 13 Nov, 2011 12:59 pm

Vladislao escribió:Tenés un error que invalida todo:
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Si [math] entonces [math].
Cierto, ya me parecía q no era tan fácil después de llegar a eso, y entonces no me lamento haberme comido alto viaje antes n.n .
[math], Posta!
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Sea [math] un real, veamos que: [math], entonces [math].

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Vladislao

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Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por Vladislao » Dom 13 Nov, 2011 1:37 pm

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Es trivial ver que [math].

Ahora:

[math]

Como [math], sigue que [math]

Entonces, recordando que [math], hay dos casos:

1) [math], tomando esto como una cuadrática nos dice que [math], absurdo.

2) [math], lo que nos dice que [math] que es solución y además es la única.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por ésta » Dom 13 Nov, 2011 2:05 pm

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Es posible ahorrarse la cuadrática diciendo que:
[math]
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Johanna

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Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por Johanna » Vie 11 Sep, 2015 1:29 pm

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Sabemos que [math]
Entonces [math]
Reacomodando los terminos:
[math]
Como estamos en enteros entonces [math]
[math], Si [math], resolvemos y nos queda [math]

Si [math] notemos que [math] [math]
Entonces [math]
Desarrollando los terminos y reacomodando queda:
[math]
Resolviendo la cuadratica queda que las raices del polinomio [math] son [math]
Es decir que [math] toma valores positivos para [math] y [math] pero como [math] entonces la desigualdad no tiene soluciones en este conjunto.
Por lo que la unica solucion es [math]
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Gianni De Rico

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Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Oct, 2017 7:40 pm

Spoiler: mostrar
Tenemos que:
[math]
[math]

Además:
[math] es coprimo con [math] (+)

Como [math]:
[math] (*)

Como [math]:
[math] (**)

De (*) y (**) resulta:
[math] (++)

De (+) y (++) sale que:
[math]

Finalmente, el único entero que cumple las condiciones del enunciado es [math]
Queda Elegantemente Demostrado

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Joacoini

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Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por Joacoini » Jue 10 Oct, 2019 10:41 am

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Si $n<10^3\Rightarrow n^2<10^6\Rightarrow n^3-1<10^6n-1$.
Por lo que $n\geq 10^3$.

Como $10^6n-1\mid n^3-1$ tenemos que

$10^6n-1\mid (10^{12}n^2+10^6n+1)(10^6n-1)-10^{18}(n^3-1)=10^{18}-1\Rightarrow (10^6n-1)k=10^{18}-1$

$(10^6n-1)k=10^6nk-k=10^{18}-1\Rightarrow 10^6nk=10^{18}+k-1\Rightarrow 10^6\mid k-1\Rightarrow k=10^6m+1$

Como $n\geq 10^3$ y $(10^6n-1)(10^6m+1)=10^{18}-1$, $10^6m+1=\frac{10^{18}-1}{10^6n-1}\leq \frac{10^{18}-1}{10^9-1}=10^9+1\Rightarrow m\leq 10^3$

$(10^6n-1)(10^6m+1)=10^{18}-1=10^{12}nm+10^6n-10^6m-1\Rightarrow 10^{18}=10^{12}nm+10^6n-10^6m\Rightarrow
10^{12}=10^{6}nm+n-m$

$10^6\mid n-m$ y como $10^3\leq n<10^6$ y $m\leq10^3$ esto solo se da si $n=m=10^3$.
NO HAY ANÁLISIS.

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