Nacional 2002 N1 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Joacoini

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Nacional 2002 N1 P1

Mensaje sin leer por Joacoini » Lun 30 Sep, 2019 11:40 pm

Se consideran todos los números naturales de nueve dígitos que utilizan exclusivamente los dígitos $1$, $2$ y $3$ (el menor es el $111111111$ y el mayor es el $333333333$). Cada uno de estos números está escrito en una tarjeta; se tiene así un mazo de $19683$ tarjetas. David, Juan y Pablo se repartieron las tarjetas de acuerdo con la siguiente regla: si dos tarjetas son de un mismo chico, entonces en al menos una de las nueve posiciones tienen el mismo dígito. Si David tiene el $133221311$ y Juan tiene el $133211311$, determinar cuál de los tres chicos tiene el $123123123$.
NO HAY ANÁLISIS.

Fran B
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Re: Nacional 2002 N1 P1

Mensaje sin leer por Fran B » Vie 11 Oct, 2019 10:29 pm

Spoiler: mostrar
El número $A = 211312232$ no tiene dígitos en común con el $133221311$, por lo que $A$ debe ser de Juan. A su vez, el $123123123$ no tiene dígitos en común con $A$, por lo que no puede ser de Juan, es decir, lo tiene David.

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Joacoini

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Re: Nacional 2002 N1 P1

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 12 Oct, 2019 2:00 pm

Por qué $A$ no puede ser de Pablo?
NO HAY ANÁLISIS.

Peznerd
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Re: Nacional 2002 N1 P1

Mensaje sin leer por Peznerd » Mar 05 Nov, 2019 5:51 pm

Re chungo, sólo llegué a que Pablo no lo tiene.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

Peznerd
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Re: Nacional 2002 N1 P1

Mensaje sin leer por Peznerd » Vie 08 Nov, 2019 1:46 am

Joacoini escribió:
Lun 30 Sep, 2019 11:40 pm
Se consideran todos los números naturales de nueve dígitos que utilizan exclusivamente los dígitos $1$, $2$ y $3$ (el menor es el $111111111$ y el mayor es el $333333333$). Cada uno de estos números está escrito en una tarjeta; se tiene así un mazo de $19683$ tarjetas. David, Juan y Pablo se repartieron las tarjetas de acuerdo con la siguiente regla: si dos tarjetas son de un mismo chico, entonces en al menos una de las nueve posiciones tienen el mismo dígito. Si David tiene el $133221311$ y Juan tiene el $133211311$, determinar cuál de los tres chicos tiene el $123123123$.
Aunque sea de Nivel $1$, es un gran orgullo para mí postear la solución de un problema del Nacional del año en el que nací ñ_ñ
Spoiler: mostrar
Llamamos a la $i$-ésima cifra (contando de izquierda hacia derecha) $a_i$ y además si decimos que si $a_i = 2\land3$ entonces $2$ y $3$ sirven para la $i$-ésima cifra en conjunto con las enunciadas para la persona mencionada. Así, si decimos que: Pablo tiene los números
$$a_1=2\land3, a_2=3, a_3=2, a_4=2, a_5=1, a_6=1, a_7=1, a_8=1, a_9=1$$
entonces estamos diciendo que Pablo tiene tanto la tarjeta del número $232.211.111$ como la del $332.211.111$ (pongo los puntitos para hacer más fácil la lectura).

Notamos que rápidamente podemos inferir del enunciado que ni David ni Juan tienen los números
$$a_1=2\land3, a_2=1\land2, a_3=1\land2, a_4=1\land3, a_5=3, a_6=2\land3, a_7=1\land2, a_8=2\land3, a_9=2\land3$$
por lo tanto estos $2^8$ números son de Pablo. Ésto fue deducido ya que esos $2^8$ números no comparten ninguna cifra con los que sabemos que tienen David y Juan. Este razonamiento lo llamaremos Deducción Descartadora.

La persona que tenga el $123.123.123$, por Deducción Descartadora, no tendrá alguno de los números
$$a_1=2\land3, a_2=1\land3, a_3=1\land2, a_4=2\land3, a_5=1\land3, a_6=1\land2, a_7=2\land3, a_8=1\land3, a_9=1\land2$$
pero Pablo tiene al menos uno de éstos, como por ejemplo el $211.332.232$. Luego, Pablo no tiene el $123.123.123$.

Tomemos el número $211.312.232$. Este número no fue elegido al azar: es un número que quien lo tenga no puede tener el $123.123.123$ (por Deducción Descartadora). Además, no lo puede tener Pablo ya que entre sus números se encuentra, por ejemplo, el $322.133.123$ con el que no comparte ninguna cifra. Pero es que por último y para aniquilar el problema, tampoco comparte ninguna cifra con el único número se sabe tiene David: el $133.221.311$. Sin embargo, podemos asumir por enunciado que los chicos se repartieron todas las tarjetas (de lo contrario, sería imposible realizar el problema) por lo tanto el número $211.312.232$ le pertenece a Juan (con quien comparte exactamente una cifra, ahí tienen un poco más del por qué de mi elección). Por último, como no comparte ninguna cifra con el $123.123.123$, entonces Juan no tiene este último número.

Si se repartieron todas las tarjetas, pero ni Pablo ni Juan tienen el $123.123.123$, lo tiene David.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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