Se tiene un número entero de $4$ dígitos que es un cuadrado perfecto. Se construye otro número sumándole $1$ al dígito de las unidades, restándole $1$ al dígito de las decenas, sumándole $1$ al dígito de las centenas y restándole $1$ al dígito de las unidades de mil. Si el número que se obtiene es también un cuadrado perfecto, hallar el número original. ¿Es único?
$a = 153$, entonces lo remplazamos en $(1)$, pero nos queda que :
$1000a + 100b + 10c + d = 23409$, pero, el numero tiene que ser de cuatro cifras, por lo que no es solución, seguimos
Segundo caso : $a-b= 9$ , $a+b = 101$, de nuevo, hacemos lo mismo que antes, despejamos b en la primera ecuación y tenemos :
$b = a-9$, remplazamos y obtenemos :
$(a+a -9) = 101$
$a = 55$, ademas, remplazamos y $b = 46$, si remplazamos en (1) y (2) respectivamente, obtenemos que es solución, $a = 3025$, $b = 2116$
Tercer caso : $a-b = 1$,$a+b = 303$ hacemos lo mismo de nuevo:
$b = a-1$, remplazamos, $2a = 304$ , $b = 152$, pero pasa lo mismo que en el primer caso, si remplazamos en (1), tenemos un numero de $5$ cifras, no es solución.
También hay que aclarar que los divisores de $909$ son $6$ ($909 = 3^2 * 11$, si multiplicamos los exponentes de los factores primos mas uno, obtenemos lo deseado), y solo analizamos $3$ casos ya que notamos que $a+b \geq a-b$ , entonces solo analizamos los casos en que se cumpla esto mismo.
Entonces la solución esta terminada y el numero que cumple es $3025$