Mayo 2018 Problema 1 Nivel 2

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tuvie

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Mayo 2018 Problema 1 Nivel 2

Mensaje sin leer por tuvie » Dom 08 Sep, 2019 12:32 pm

Se tiene un número entero de $4$ dígitos que es un cuadrado perfecto. Se construye otro número sumándole $1$ al dígito de las unidades, restándole $1$ al dígito de las decenas, sumándole $1$ al dígito de las centenas y restándole $1$ al dígito de las unidades de mil. Si el número que se obtiene es también un cuadrado perfecto, hallar el número original. ¿Es único?

Ianoni

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Re: Mayo 2018 Problema 1 Nivel 2

Mensaje sin leer por Ianoni » Vie 12 Jun, 2020 4:37 pm

Solución :
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Llamemos al numero inicial $abcd$, es decir :

$1000a + 100b + 10c + d = a^2 (1)$ , entonces, tenemos que el numero resultante es :

$1000(a-1) + 100(b+1) + 10(c-1) + d + 1 = b^2 (2)$

Ahora, hacemos la distributiva, nos queda:

$1000a-1000 + 100b+100 + 10c-10 + d + 1 = b^2$ , si re acomodamos los términos, nos queda que :

$1000a + 100b + 10c + d -1000 + 100 - 10 + 1 = b^2$, entonces como tenemos que $1000a + 100b + 10c + d = a^2$, remplazamos :

$a^2 - 1000 + 100 - 10 + 1 = b^2$

$a^2 -909 = b^2$

$a^2 -b^2 = 909$ , donde factorizamos como diferencia de cuadrados el $a^2 -b^2$, obtenemos :

$(a-b) * (a+b) = 909$

$(a-b) * (a+b) = 3^2 * 101 $

Entonces, los valores que pueden tomar tanto $(a-b)$ como $(a+b)$, son los divisores de $909$, entonces, dividimos en casos :

Primer caso : $a-b = 3$ , $a+b = 3 * 101$, despejamos en la primera ecuación $a$ :

$b = a-3$, y lo remplazamos en la segunda :

$2a - 3 = 3 * 101$, si despejamos $b$, obtenemos :

$a = 153$, entonces lo remplazamos en $(1)$, pero nos queda que :

$1000a + 100b + 10c + d = 23409$, pero, el numero tiene que ser de cuatro cifras, por lo que no es solución, seguimos

Segundo caso : $a-b= 9$ , $a+b = 101$, de nuevo, hacemos lo mismo que antes, despejamos b en la primera ecuación y tenemos :

$b = a-9$, remplazamos y obtenemos :

$(a+a -9) = 101$

$a = 55$, ademas, remplazamos y $b = 46$, si remplazamos en (1) y (2) respectivamente, obtenemos que es solución, $a = 3025$, $b = 2116$

Tercer caso : $a-b = 1$,$a+b = 303$ hacemos lo mismo de nuevo:

$b = a-1$, remplazamos, $2a = 304$ , $b = 152$, pero pasa lo mismo que en el primer caso, si remplazamos en (1), tenemos un numero de $5$ cifras, no es solución.

También hay que aclarar que los divisores de $909$ son $6$ ($909 = 3^2 * 11$, si multiplicamos los exponentes de los factores primos mas uno, obtenemos lo deseado), y solo analizamos $3$ casos ya que notamos que $a+b \geq a-b$ , entonces solo analizamos los casos en que se cumpla esto mismo.

Entonces la solución esta terminada y el numero que cumple es $3025$

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