APMO 2019 Problema 2

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tuvie

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APMO 2019 Problema 2

Mensaje sin leer por tuvie » Sab 07 Sep, 2019 11:04 am

Sea $m$ un entero positivo. La sucesión infinita $\{a_n\}_{n\ge 1}$ está definida de la siguiente manera: $a_1$ es un entero positivo, y para todo entero $n\ge 1$ tenemos
$$a_{n+1}= \begin{cases}
a_n^2+2^m &\text{si } a_n < 2^m \\
\frac{a_n}{2} &\text{si } a_n \ge 2^m.
\end{cases}$$
Para cada $m$, determinar todos los posibles valores de $a_1$ tales que todos los términos de la sucesión son enteros.

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Joacoini

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Re: APMO 2019 Problema 2

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 03 Mar, 2020 6:06 pm

Spoiler: mostrar
En algún momento de la sucesión va a haber un $a_k<2^m$ por lo que si $m=1\Rightarrow a_k=1\Rightarrow a_{k+1}=3\Rightarrow a_{k+2}=\frac{3}{2}$.
$m\geq 2$

Tomamos $m$ y $a_1$ tal que la sucesión se mantenga en enteros, en algún momento la sucesión va a ser mayor a $2^m$ y luego va a haber un $2^{m-1}\leq a_k<2^m$ ya que $2a_k=a_{k-1}\geq 2^m$.

$2^{2m-2}+2^m \leq a_{k+1}=a_k^2+2^m<2^{2m}+2^m$

Si dividimos por $2^{m-2}$ la cota inferior sigue siendo más grande que $2^m$, seria $2^m+4$, por lo que podemos dividir por $2$ una vez más y obtenemos.

$a_{k+m}=\frac{a_k^2+2^m}{2^{m-1}}$

Como $a_{k+m}$ tiene que ser entero, más específicamente par ya que si no si seguimos llegamos a un no entero, tenemos que $v_2(a_k^2+2^m)\geq m$.

Si $v_2(x)\neq v_2(y)\Rightarrow v_2(x+y)=min(v_2(x); v_2(y))$.

Si $v_2(a_k^2)<m\Rightarrow v_2(a_k^2+2^m)=v_2(a_k^2)<m$, por lo que $v_2(a_k^2)\geq m$.

Si $v_2(a_k^2)>m\Rightarrow v_2(a_k^2+2^m)=v_2(2^m)=m\Rightarrow v_2(a_{k+m})=v_2(\frac{a_k^2+2^m}{2^{m-1}})=1$.
Pero podemos ver a $a_{k+m}$ como un $a_{k'}$ ya que cumple las propiedades por las que elegimos a $a_k$ (si no tenemos que dividir por $2$ una vez más y nos queda un impar) por lo que $a_{k'}$ también debe cumplir que $v_2(a_{k'}^2)\geq m$ pero $v_2(a_{k'}^2)=2$ por lo que o $m=2$ (vamos a ver esto al final) o $v_2(a_k^2)\leq m$.

Solo nos queda la opción de $v_2(a_k^2)=m=2v_2(a_k)$ por lo que $m=2t$.

$v_2(a_k^2+2^m)=m+v_2(\frac{a_k^2}{2^m}+1)$

Como $\frac{a_k^2}{2^m}$ es un cuadrado impar tenemos que su resto mod $4$ es $1$ por lo que el resto mod $4$ de $\frac{a_k^2}{2^m}+1$ es $2$ por lo tanto

$v_2(a_k^2+2^m)=m+v_2(\frac{a_k^2}{2^m}+1)=m+1\Rightarrow v_2(a_{k+m})=v_2(\frac{a_k^2+2^m}{2^{m-1}})=2$
De nuevo miramos a $a_{k+m}$ como $a_{k'}$ (si no dividimos por $2$ una vez más y vemos a $a_{k+m+1}$ como $a_{k'}$) y se tiene que cumplir que $v_2(a_{k'}^2)=m$ por lo que $m=4$ si $k'=m+k$ o $m=2$ si $k'=m+k+1$.


Para $m=4$ como sabemos que la sucesión va a pasar por algún número menor a $16$ podemos arrancar por estos a hacer operaciones, para cualquier número que arranquemos llegamos a un no entero.

Para $m=2$ como sabemos que la sucesión va a pasar por algún número menor a $4$ y este tiene que ser par sucede la sucesión pasa por $2$ y se forma el ciclo $2, 8, 4, 2, 8, 4, 2...$ por lo que si arrancas en cualquier potencia de $2$ logras que la sucesión se mantenga en enteros (si $a_1$ no es potencia de $2$ vas a dividir por $2$ hasta llegar a un impar y de ahí a un no entero).

La única solución es $m=2$ y $a_1=2^n$ con $n\geq 1$.
NO HAY ANÁLISIS.

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