Un entero positivo $N$ tiene exactamente $80$ divisores positivos, que ordenados de menor a mayor son:$$1=d_1<d_2<d_3<\cdots <d_{79}<d_{80}=N.$$Determine cuántos divisores positivos, como mínimo, puede tener el número $d_{73}$.
La cantidad de divisores de $N$ es $f(N)=80=(a_1+1)(a_2+1)...$, siendo $a_1$, $a_2$ ... los exponentes de cada número primo en la factorización de N
La cantidad de divisores de $d_8$ es $f(d_8)=(b_1+1)(b_2+1)...$, siendo $b_1$, $b_2$ ... los exponentes de cada número primo de N, en la factorización de $d_8$
La cantidad de divisores de $d_73$ es $f(d_8)=(a_1-b_1+1)(a_2-b_2+1)...$
Los divisores de $d_8$ son divisores de $N$ y son menores o iguales a $d_8$ por lo que $d_8$ tiene como máximo $8$ divisores
Los primos en la factorización de $p_8$ deben tener el menor exponente posible en la factorización de $N$ para obtener el mínimo en $d_{73}$ por desigualdad del reordenamiento
Los primos que no están en la factorización de $p_8$ pueden tener cualquier exponente posible en la factorización de $N$ tal que $N$ tenga $80$ divisores sin cambiar la cantidad de divisores de $d_{73}$
-Si $d_8$ tiene $8$ divisores,
Caso 1 $d_8=p_1*p_2*p_3$, $N=p_1*p_2*p_3*p_4*p_5^4$, $d_{73}$ tiene $10$ divisores
Caso 2 $d_8=p_1*p_2^3$, $N=p_1*p_2^3*p_3^9$, $d_{73}$ tiene $10$ divisores
Caso 3 $d_8=p_1^7$, $N=p_1^7*p_2^9$, $d_{73}$ tiene $10$ divisores
-Si $d_8$ tiene $7$ divisores,
Caso 1 $d_8=p_1^6$, $N=p_1^7*p_2^9$, $d_{73}$ tiene $20$ divisores
-Si $d_8$ tiene $6$ divisores,
Caso 1 $d_8=p_1^5$, $N=p_1^7*p_2^9$, $d_{73}$ tiene $30$ divisores
Caso 2 $d_8=p_1^2*p_2$, $N=p_1^3*p_2*p_3^9$, $d_{73}$ tiene $20$ divisores
-Si $d_8$ tiene $5$ divisores,
Caso 1 $d_8=p_1^4$, $N=p_1^4*p_2^{15}$, $d_{73}$ tiene $16$ divisores
-Si $d_8$ tiene $4$ divisores,
Caso 1 $d_8=p_1^3$, $N=p_1^3*p_2^{19}$, $d_{73}$ tiene $20$ divisores
Caso 2 $d_8=p_1*p_2$, $N=p_1*p_2*p_3^{19}$, $d_{73}$ tiene $20$ divisores
-Si $d_8$ tiene $3$ divisores,
Caso 1 $d_8=p_1^2$, $N=p_1*p_2^{39}$, $d_{73}$ tiene $40$ divisores
-Si $d_8$ tiene $2$ divisores,
Caso 1 $d_8=p_1^2$, $N=p_1*p_2^{39}$, $d_{73}$ tiene $40$ divisores
-Si $d_8$ tiene $1$ divisor,
Caso 1 $d_8=p_1$, $N=p_1*p_2^{39}$, $d_{73}$ tiene $40$ divisores
$d_{73}$ tiene como mínimo $10$ divisores, ejemplo: $N=2^7*151^9$, $d_1=1, d_2=2$ ... $d_8=2^7=128$, $d_9=151$, $d_{10}=151*2$ ... $d_{73}=N/d_8=151^9$, ... $d_{80}=N=2^7*151^9$
$3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3$: esta es la tercer menor solucion descubierta para la ecuación $a^3+b^3+c^3=3$ , las otras dos son $1^3+1^3+1^3=3$ y $4^3+4^3+(-5)^3=3$
Para cada número natural $n$ llamamos $f(n)$ al número de divisores positivos de $n$
si el número $N$ del problema tiene $80$ divisores positivos entonces $N>1\Rightarrow N=\prod_{i=1}^{i=k} \left (p_{i}^{r_{i}} \right ) $
donde los $p_{i}$ son números primos distintos y los $r_{i}\geq 1$ para todo $i$, ademas sabemos que $f(N)=\prod_{i=1}^{i=k} (r_{i}+1)=80 $
Si $d_{8}=\prod_{i=1}^{i=k} \left (p_{i}^{s_{i}} \right )$ donde $0\leq s_{i}\leq r_{i}$ para todo $i \Rightarrow $ Por el orden dado a todos los divisores de $N$ sabemos que $d_{73}=\frac{N}{d_{8}}= \prod_{i=1}^{i=k} \left (p_{i}^{r_{i}-s_{i}} \right )$
Notar que cada divisor positivo de $d_{8}$ es divisor positivo de $N$ y ademas menor o igual $d_{8}$, como sabemos que $N$ tiene exactamente $8$ divisores positivos menores o iguales a $d_{8} \Rightarrow f(d_{8})=\prod_{i=1}^{i=k} (s_{i}+1)\leq8$ $(*)$
$f(d_{73})=\prod_{i=1}^{i=k} (r_{i}-s_{i} +1)=1.\prod_{i=1}^{i=k} (r_{i}-s_{i} +1)=\frac{80}{\prod_{i=1}^{i=k} (r_{i}+1)} .\prod_{i=1}^{i=k} (r_{i}-s_{i} +1)= 80.\prod_{i=1}^{i=k}\left [ \frac{(r_{i}-s_{i} +1)}{(r_{i}+1)}\right ]=80. \prod_{i=1}^{i=k}\ c_{i} $
donde hemos llamado $c_{i}=\frac{(r_{i}-s_{i} +1)}{(r_{i}+1)}= 1-\frac{s_{i}}{r_{i}+1} $ para todo $i$, queda claro aca que si fijamos los valores de $s_{i}$ de modo tal que para ellos se cumpla $(*)$ entonces los valores de $c_{i}$ crecen conforme los valores de $r_{i}$ crecen, esto quiere decir que el mínimo de $c_{i}$ ocurre cuando $r_{i}$ toma el valor mas pequeño posible que sabemos que es $s_{i}$, concluimos que $c_{i}\geq \frac{(s_{i}-s_{i} +1)}{(s_{i}+1)}=\frac{1}{s_{i}+1}$
Concluimos entonces que $f(d_{73})\geq 80.\prod_{i=1}^{i=80}\left [ \frac{1}{s_{i}+1} \right ]=80.\frac{1}{f(d_{8})}\geq 80. \frac{1}{8}=10$
Por ultimo vemos que si $N=2^{7}.131^{9}$ como $2^{7}<131\Rightarrow d_{8}=2^{7}\Rightarrow d_{73}=131^{9} $ y este número tiene $10$ divisores
El mínimo número de divisores positivos que puede tener $d_{73}$ es $10$
