Selectivo Cono Sur, Perú 2019. Problema 1

[Nando]

Encuentre todos los números enteros positivos $a$ y $b$ tales que$$\frac{a^b+b^a}{a^a-b^b}$$es un número entero.

[HelcsnewsXD]

Hola!
El problema lo resolví en Word jaja, así que lo envío en formato pdf.

Está muy bueno el problema!

Omaforos - Sel. Cono Perú 2019 - HelcsnewsXD.pdf

Pd.: Pongo dos veces a=b+1. En realidad la última oración de ese párrafo puede sacarse.
Se hace la apreciación a=b+1 ya que es la forma más factible para que se cumpla la inecuación mencionada
anteriormente.

[Gianni De Rico]

Pd.: Pongo dos veces a=b+1. En realidad la última oración de ese párrafo puede sacarse.

Capaz no estoy entendiendo bien, pero ¿Qué pasa si $a\neq b+1$? Me parece que estás analizando un sólo caso.

[Dauphineg]

Spoiler: mostrar

Lema:
Sean $x,y,m$ enteros positivos con $m>1$ entonces $\left ( x+y \right )^m> x^{m}+y^{m}$ la demostración puede hacerse por ejemplo
por binomio de Newton o inducción, la hacemos por inducción sobre $m$:
Para $m=2$ tenemos que $\left ( x+y \right )^2= x^{2}+y^{2}+2.x.y \geq x^{2}+y^{2}+2> x^{2}+y^{2}$ Se cumple!
Supongamos que para $m=k$ se cumple, es decir que $\left ( x+y \right )^k> x^{k}+y^{k}$ $(H.I.)$
Luego para para $m=k+1$, sabiendo que $x+y>0$ y usando $(H.I.)$ tenemos que $\left ( x+y \right )^{k+1}=\left ( x+y \right )^k.(x+y)>$
$>(x^{k}+y^{k}).(x+y)=x^{k+1}+y^{k+1}+x^{k}.y+y^{k}.x \geq x^{k+1}+y^{k+1}+2> x^{k+1}+y^{k+1}$ Se cumple!
Quedo probado el Lema, pasamos al problema
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Es claro que $a\neq b$ y que el par $(a,b)$ cumple con lo pedido si y solo si el par $(b,a)$ lo cumple, motivo por el cual podemos
suponer sin perdida de generalidad que $a>b$ y entonces sera $a^{a} > b^{a} \geq b^{b} \Rightarrow a^{a}- b^{b}>0$ por lo cual tendrá que ser
$a^{b}+b^{a} \geq a^{a}-b^{b}$ $(1)$ dado que en caso contrario tendríamos un cociente entre $2$ números positivos donde el denominador
seria mayor al numerador y por lo tanto la fracción debería ser positiva, entera y menor que $1$, lo que sabemos es un absurdo.
Sabemos entonces que $a=b+k$ donde $k\varepsilon \mathbb{N}$ , si $ k>1$ entonces por Lema tenemos que $\left ( b+k \right )^k> b^{k}+k^{k}$
$\Rightarrow \left ( b+k \right )^k-b^{k}> k^{k} \geq 2^{2}=4>2 =1+1\Rightarrow \left ( b+k \right )^k-1> b^{k}+1$ y como $\left ( b+k \right )^k-1>0$
llegamos a que $1>\frac{b^{k}+1}{\left ( b+k \right )^k-1}$ $(2)$ pero ademas sabemos que $b+k>b \Rightarrow \frac{b+k}{b}>1\Rightarrow \left ( \frac{b+k}{b} \right )^{b}>1$ $(3)$
de $(2)$ y $(3)$ tenemos que $\frac{(b+k)^{b}}{b^{b}}>\frac{b^{k}+1}{\left ( b+k \right )^k-1} \Rightarrow (b+k)^{b+k}-(b+k)^{b}> b^{b+k}+b^{b} \Rightarrow a^{a}-a^{b}> b^{a}+b^{b}$
$ \Rightarrow a^{a}-b^{b}> a^{b} +b^{a}$ pero esto contradice $(1)$ luego $k\ngtr1 \Rightarrow k=1 \Rightarrow a=b+1$ Luego de $(1)$ tenemos que
$(b+1)^{b}+b^{b+1} \geq (b+1)^{b+1}-b^{b}\Rightarrow b^{b}.(b+1)\geq (b+1)^{b}.(b+1-1)\Rightarrow b^{b-1}\geq(b+1)^{b-1}$$(4)$
Si $b>1\Rightarrow b-1>0$ y como $b+1>b\Rightarrow (b+1)^{b-1}> b^{b-1}$ y esto contradice $(4)$ Luego $b\ngtr 1$
Concluimos que $b=1\Rightarrow a=2$ y la pareja $(2,1)$ claramente verifica lo pedido por el problema
Las únicas soluciones son las parejas $(2,1)$ y $(1,2)$