Sea $p$ un número primo y $r$ el resto de la división $p$ por $210$. Se sabe que $r$ es un número compuesto y que se puede escribir como suma de dos cuadrados perfectos distintos de cero. Hallar todos los primos menores que $2018$ que satisfacen estas condiciones.
Última edición por BrunZo el Mié 24 Ene, 2024 4:14 pm, editado 1 vez en total.
Razón:divisón > división
Sea $(r, 210)=d$, tenemos que $p=210q+r$ para algún entero positivo $q$, con lo que, si $d$ no es $1$, $p$ sería divisible por $d$ y por ende no sería primo ($d$ no puedes ser igual a $p$ ya que en ese caso quedaría $r=p$ con lo que $r$ no sería compuesto). Notamos que $\varphi(210)=\varphi(2.3.5.7)=\varphi(2)\varphi(3)\varphi(5)\varphi(7)=48$. Por otro lado chequeamos en nuestra tabla de números primos (es un Certamen Nacional así que todos tenemos una ) que hay $42$ números primos menores que $210$ coprimos con $210$, pero $r$ es compuesto, con lo que quedan $6$ valores posibles para $r$, que son $1, 121, 143, 169, 187$ y $209$. Como $r$ es compuesto, descartamos el $1$, y como $r$ es suma de cuadrados perfectos, por esta fantástica propiedad podemos descartar al $143$, al $187$ y al $209$. Por otro lado, la propiedad nos habla de suma de cuadrados NO NEGATIVOS, por lo que el $121$ en principio podría servir, pero a mano verificamos que no hay dos cuadrados no nulos que sumen $121$. Luego, el único valor posible es $r=169$, ya que $169=12^2+5^2$. Chequeamos ahora nuevamente en nuestra lista de primos (que en serio hay que tener una impresa para el Nacional ) si alguno de los números de la forma $210q+169$ menores que $2018$ es primo:
$379 \checkmark \\
589 \\
799 \\
1009 \checkmark \\
1219 \\
1429 \checkmark \\
1639 \\
1849 $
Para los 6 valores posibles de r, se podría haber hecho un tanteo medio rápido de cuál es la factorización por primos de cada r, teniendo en cuenta que 210 = 2*3*5*7, entonces ni 2, ni 3, ni 5, ni 7 divide a r y solo queda buscar las posibles factorizaciones por primos para números menores a 210 que no contengan los primos antes mencionados (y que no sean números primos ).
Sea $(r, 210)=d$, tenemos que $p=210q+r$ para algún entero positivo $q$, con lo que, si $d$ no es $1$, $p$ sería divisible por $d$ y por ende no sería primo ($d$ no puedes ser igual a $p$ ya que en ese caso quedaría $r=p$ con lo que $r$ no sería compuesto). Notamos que $\varphi(210)=\varphi(2.3.5.7)=\varphi(2)\varphi(3)\varphi(5)\varphi(7)=48$. Por otro lado chequeamos en nuestra tabla de números primos (es un Certamen Nacional así que todos tenemos una ) que hay $42$ números primos menores que $210$ coprimos con $210$, pero $r$ es compuesto, con lo que quedan $6$ valores posibles para $r$, que son $1, 121, 143, 169, 187$ y $209$. Como $r$ es compuesto, descartamos el $1$, y como $r$ es suma de cuadrados perfectos, por esta fantástica propiedad podemos descartar al $143$, al $187$ y al $209$. Por otro lado, la propiedad nos habla de suma de cuadrados NO NEGATIVOS, por lo que el $121$ en principio podría servir, pero a mano verificamos que no hay dos cuadrados no nulos que sumen $121$. Luego, el único valor posible es $r=169$, ya que $169=12^2+5^2$. Chequeamos ahora nuevamente en nuestra lista de primos (que en serio hay que tener una impresa para el Nacional ) si alguno de los números de la forma $210q+169$ menores que $2018$ es primo:
$379 \checkmark \\
589 \\
799 \\
1009 \checkmark \\
1219 \\
1429 \checkmark \\
1639 \\
1849 $
primero obtuve las posibles sumas de cuadrados perfectos menores a 210, y tache aquellas que tengan divisores comunes con 210. me quedo una lista de 22 numeros y tache los numeros no-compuestos, y quedaron los posibles "r" (117;153;169). Luego fui sumando estos posibles "r" a los multiplos de 210 menores a 2018, y aquellas sumas que se encontraban en la lista de numeros primos eran los numeros que respondian a las condiciones planteadas por el enunciado.
No es una resolucion creativa, pero es la forma en la que se puede resolver sin usar teoria de libros hechos por personas que estaban al pedo hace miles de años
Notemos que "r" puede tomar los valores desde 0 hasta 209
210 = 2.3.5.7, entonces "r" no puede ser multiplo de los factores primos de 210 ya que si no P no sería primo.
Sabiendo esto podemos restringir los valores de "r" a 11 y 13 ¿Por que no mas? Por el teorema de Fermat para que un numero pueda expresarse como suma de cuadrados los factores primos de la forma 4k+3 deben estar elevados a una potencia par, como 4.2+3=11 entonces la única opción posible de que "r" tenga a 11 en su factorizacion en primos es que r=11². Luego, si queremos que aparezca un numero mayor o igual a 17, este debería estar acompañado de otro factor, pero veamos que el mas chico posible, es decir el 13, nos da en la multiplicacion 13.17=221 por lo que nos pasamos de 209.
Entonces los unicos valores posibles de "r" son 11² y 13² (por alguna razón que desconozco 11² no puede expresarse como suma de de 2 cuadrados distintos sin contar el 0, si alguno explica le agradezco) en cambio 13² sí.
Retomando a 210.c + 13² = p, podemos ir probando valores de c y vemos que los valores que cumplen son:
P={379, 1009, 1429}
).
