ONEM 2018 - Fase 3 - Nivel 1 - P8

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Nando

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ONEM 2018 - Fase 3 - Nivel 1 - P8

Mensaje sin leer por Nando » Vie 02 Nov, 2018 7:54 am

Un número de siete dígitos es divisible por el producto de sus dígitos. ¿Cúal es la mayor cantidad de veces que puede aparecer el dígito $5$ entre los dígitos de dicho número?
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Dauphineg

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Re: ONEM 2018 - Fase 3 - Nivel 1 - P8

Mensaje sin leer por Dauphineg » Vie 31 Jul, 2020 6:54 am

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Llamamos $N=\overline{abcdefg}$ a un número de $7$ dígitos que es múltiplo del producto de sus dígitos, vamos probar que no puede tener mas de $3$ veces el dígitos $5$. Supongamos lo contrario, entonces $5^{4}\mid N$ y si algún dígito de $N$ fuese par entonces $10\mid N \Rightarrow g=0 \Rightarrow 0\mid N$ y esto es absurdo, así que todos los dígitos de $N$ son impares y como $5\mid N \Rightarrow g=5 \Rightarrow 5^{4}\mid \overline{abcdef5} \Rightarrow 5^{3}\mid \overline{abcdef}.10+5\Rightarrow 5^{3}\mid \overline{abcdef}.2+1$ y como el número $\overline{abcdef}.2+1$ es impar y divisible en $5$ necesariamente terminara en $5\Rightarrow \overline{abcdef}.2$ terminara en $4 \Rightarrow f=7$
Luego $5^{3}\mid \overline{abcde7}.2+1\Rightarrow 5^{3}\mid (\overline{abcde0}+7).2+1\Rightarrow 5^{3}\mid (\overline{abcde}.10+7).2+1\Rightarrow 5^{3}\mid \overline{abcde}.20+15 \Rightarrow 5^{2}\mid \overline{abcde}.4+3$ y como el número $\overline{abcde}.4+3$ es impar y divisible en $5$ necesariamente terminara en $5\Rightarrow \overline{abcde}.4$ terminara en $2 \Rightarrow e=3$
Luego $5^{2}\mid \overline{abcd3}.4+3\Rightarrow 5^{2}\mid (\overline{abcd0}+3).4+3\Rightarrow 5^{2}\mid (\overline{abcd}.10+3).4+3\Rightarrow 5^{2}\mid \overline{abcd}.40+15\Rightarrow 5 \mid \overline{abcd}.8+3$ y como el número $\overline{abcd}.8+3$ es impar y divisible en $5$ necesariamente terminara en $5\Rightarrow \overline{abcd}.8$ terminara en $2 \Rightarrow d=9\Rightarrow a=b=c=5$
$\Rightarrow N=5559375$ pero este número no es divisible por el producto de sus dígitos, así que se llega a una contradicción.
Por último comentamos que para que el número $N$ pueda tener $3$ dígitos $5$ es necesario que termine en $375$ por lo que ya vimos y además el número formado por los primeros $4$ dígitos de $N$, o sea $\overline{abcd}$ tendrá exactamente $2$ dígitos $5$ y los otros $2$ dígitos deberán ser impares y distintos de $5$, por otro lado como $N$ es divisible en $3$ y $375$ también es divisible en $3$, sera $\overline{abcd}$ divisible en $3$ pero entonces esos $2$ dígitos de $\overline{abcd}$ que son distintos de $5$ tendrán como suma un número con resto $2$ en la división por $3$, lo cual conduce a que ninguno de ellos pueda ser divisible por $3$ (dado que en ese caso el otro sera $5$) y entonces serán $1$ o $7$. Puede verse a partir de acá que los dígitos de $\overline{abcd}$ son $5,5,7,1$ en algún orden o $5,5,1,1$ en algún orden o $5,5,7,7$ en algún orden, no son tantos casos si uno quiere probar, también hay forma de reducir mas los casos sabiendo que $N$ sera divisible en $7$ y con un poco de ganas se llega a encontrar un ejemplo que cumpla, sera el $N=1551375$ y sino el $N=5751375$ que son los únicos que cumplen. La respuesta al problema entonces seria que la mayor cantidad de veces que puede aparecer el dígito $5$ es $3$

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