Nacional 1994 Nivel 1 (P1)

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Dauphineg

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Nacional 1994 Nivel 1 (P1)

Mensaje sin leer por Dauphineg » Lun 30 Ene, 2017 1:49 am

Hay que escribir una fila de 20 dígitos de manera que la suma de tres dígitos consecutivos de la fila sea siempre múltiplo de 5. ¿Cual es la máxima cantidad de dígitos distintos que puede haber en la fila?
ACLARACIÓN: Los dígito son los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

HelcsnewsXD
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Re: Nacional 1994 Nivel 1 (P1)

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Lun 07 Oct, 2019 9:24 pm

Spoiler: mostrar
Como debe ser múltiplo de 5, vamos a trabajar todo con restos en función de mod 5. Ahora, ¿cuáles son las posibles ternas de números mod 5 que cumplen? Tenemos las siguientes:
$(4,4,2); (4,3,3); (4,1,0); (3,2,0); (3,1,1); (2,2,1); (0,0,0);$
Con esto debemos ver cómo poderlos hacer "encajar". Sabemos que ya teniendo dos números, el tercero se determina solo. Por esto, debemos buscar ternas que repitan al menos dos números. Como esto no sucede, solo puede funcionar una terna. Es por esta razón que consideramos la más heterogénea, (3,2,0) por ejemplo, la cual permite 6 dígitos distintos, siendo este el máximo.
El caso de que el máximo sea 6 se demuestra simplemente por el hecho de que si es mayor, una terna sola no sirve (2+2+2=6), por lo que tendrá que salir de la combinación de dos ternas, lo cual es imposible como vimos

Peznerd
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Re: Nacional 1994 Nivel 1 (P1)

Mensaje sin leer por Peznerd » Sab 02 Nov, 2019 9:04 pm

Spoiler: mostrar
Vemos que entre $0$ a $9$ inclusive las congruencias módulo $5$ posibles son $0, 1, 2, 3, 4,$ y denotamos $(m)$ a la congruencia del dígito (dos opciones de dígito por cada congruencia).

Las cadenas (que puede ser tomado un trozo de $20$ partes, y es análogo el caso para toda cifra con la misma congruencia o bien leerlas de adelante para atrás que viceversa) posibles son:

$..., (m), (m), (m), ...$
$..., (3), (1), (1), (3), (1), (1), ...$
$..., (2), (1), (2), (2), (1), (2), ...$
$..., (4), (3), (3), (4), (3), (3), ...$
$..., (4), (2), (4), (4), (2), (4), ...$
$..., (0), (2), (3), (0), (2), (3), ...$
$..., (0), (1), (4), (0), (1), (4), ...$

Cubrimos todas las posibilidades y las que más cifras cubren son las últimas dos, con un máximo de $6$ cifras.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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