Selectivo de Ibero 2001 P4

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Vladislao

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Selectivo de Ibero 2001 P4

Mensaje sin leer por Vladislao »

Sea $n$ un entero positivo. Demostrar que la cantidad de pares ordenados de números enteros $(x,y)$ que satisfacen la ecuación$$x^2-xy+y^2=n$$es un número entero múltiplo de $6$. (Dicha cantidad puede ser $0$, que es múltiplo de $6$, pero hay que demostrar que no puede ser infinita.)
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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Ivan

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Re: TST Ibero 2001 P4

Mensaje sin leer por Ivan »

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Consideremos una grilla formada por triángulos equiláteros de lado [math].

Podemos asignarle a cada punto de la grilla unas coordenadas [math] como se ve en la figura:
hexagonos.png
Consideremos la circunferencia de centro [math] y radio [math] (en el dibujo [math]).

Afirmo que la cantidad de soluciones de [math] es la cantidad de puntos de la grilla que están sobre la circunferencia.

En efecto, por el teorema del coseno, la distancia de un punto [math] al [math] es precisamente [math].

Si [math] es solución se tiene [math] y entonces [math] por lo que el punto [math] está en la circunferencia.

Si tenemos un punto de la grilla [math] que está en la circunferencia se cumple [math] luego [math] y [math] es solución.

Notemos que rotar [math] con centro en [math] manda la circunferencia a si misma y los puntos de la grilla a puntos de la grilla.

Entonces manda las soluciones de [math] a soluciones de la misma ecuación. Esto parte al conjunto de las soluciones en grupos de a [math], más precisamente hexágonos regulares:
hexagonos2.png
Se sigue que [math] divide a la cantidad de soluciones.


Comentario: Lo que sigue es esencialmente la misma idea pero escrita con números complejos.

Sea [math] ([math] es una raíz sexta primitiva de la unidad).

Consideremos los números complejos de la forma [math], con [math] y [math] enteros.

Se tiene [math].

Luego las soluciones de la ecuación [math] se corresponden con puntos del plano complejo de la forma [math] con [math] tales que [math]

Dividimos los puntos del plano complejo de la forma [math] en grupitos de [math] (salvo el [math] que queda solo) como sigue:
dos puntos [math], [math] están en el mismo grupo sii existe [math] tal que [math].

Como [math] todos los elementos de cada grupito tienen la misma norma, luego si uno es solución los [math] son solución.

Esto muestra que la cantidad de soluciones es múltiplo de 6.

La intuición para esta solución tiene que ver con esto. Los grupitos de [math] puntos son hexágonos regulares centrados en el [math] (multiplicar por [math] equivale a rotar [math]).
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Ivan

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Re: TST Ibero 2001 P4

Mensaje sin leer por Ivan »

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Otra solución, que en realidad es la misma idea de antes escondida.

Consideremos la transformación [math].

Tenemos que al aplicar repetidas veces la transformación
[math]
Se puede comprobar que los [math] pares son distintos entre sí (salvo en el caso [math]).

Entonces esta transformación parte los pares de números [math] en grupos de [math].

Ahora notemos que si [math] es solución de [math] entonces [math] también es solución, ya que
[math]
Luego las soluciones vienen agrupadas de a [math].
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joa.fernandez

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Re: TST Ibero 2001 P4

Mensaje sin leer por joa.fernandez »

Ivan escribió: Vie 11 Mar, 2011 10:32 pm
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Consideremos una grilla formada por triángulos equiláteros de lado $1$.

Podemos asignarle a cada punto de la grilla unas coordenadas $(x,y)$ como se ve en la figura:
hexagonos.png
Consideremos la circunferencia de centro $(0,0)$ y radio $\sqrt{N}$ (en el dibujo $N=7$).

Afirmo que la cantidad de soluciones de $x^2-xy+y^2=N$ es la cantidad de puntos de la grilla que están sobre la circunferencia.

En efecto, por el teorema del coseno, la distancia de un punto $(x,y)$ al $(0,0)$ es precisamente $\sqrt{x^2-xy+y^2}$.

Si $(x,y)$ es solución se tiene $x^2-xy+y^2=N$ y entonces $\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{N}$ por lo que el punto $(x,y)$ está en la circunferencia.

Si tenemos un punto de la grilla $(x,y)$ que está en la circunferencia se cumple $\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{N}$ luego $x^2-xy+y^2=N$ y $(x,y)$ es solución.

Notemos que rotar $60^\circ$ con centro en $(0,0)$ manda la circunferencia a si misma y los puntos de la grilla a puntos de la grilla.

Entonces manda las soluciones de $x^2-xy+y^2=N$ a soluciones de la misma ecuación. Esto parte al conjunto de las soluciones en grupos de a $6$, más precisamente hexágonos regulares:
hexagonos2.png
Se sigue que $6$ divide a la cantidad de soluciones.


Comentario: Lo que sigue es esencialmente la misma idea pero escrita con números complejos.

Sea $\omega=\frac{1-i \sqrt{3}}{2}$ ($\omega$ es una raíz sexta primitiva de la unidad).

Consideremos los números complejos de la forma $a+b\omega$, con $a$ y $b$ enteros.

Se tiene $\left|a+ b\omega\right|^2=a^2-ab+b^2$.

Luego las soluciones de la ecuación $a^2-ab+b^2=n$ se corresponden con puntos del plano complejo de la forma $a+b \omega$ con $a,\: b \in \mathbb{Z}$ tales que $\left|a+b\omega \right|=\sqrt{n}$

Dividimos los puntos del plano complejo de la forma $a+b\omega$ en grupitos de $6$ (salvo el $0$ que queda solo) como sigue:
dos puntos $P$, $Q$ están en el mismo grupo sii existe $n$ tal que $\omega^n P=Q$.

Como $\left| \omega \right|=1$ todos los elementos de cada grupito tienen la misma norma, luego si uno es solución los $6$ son solución.

Esto muestra que la cantidad de soluciones es múltiplo de 6.

La intuición para esta solución tiene que ver con esto. Los grupitos de $6$ puntos son hexágonos regulares centrados en el $0$ (multiplicar por $\omega$ equivale a rotar $60^\circ$).
Comentario:
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Cuando se emplea la solución con complejos, en realidad los números que hay que tomar son de la forma $a-b\omega$. Por si queda duda, notar que $\left|a+ b\omega\right|^2=a^2+ab+b^2$, y por otro lado $\left|a- b\omega\right|^2=a^2-ab+b^2$ que es la expresión que nos importa.
También notar que $\omega(a-b\omega)=b-(b-a)\omega$ (cuentas a cargo del lector) que es justamente lo que se hacía con la "transformación" de la última solución (al fin y al cabo se está rotando el punto 60°en sentido horario).
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