Sea $n$ un entero positivo. Demostrar que la cantidad de pares ordenados de números enteros $(x,y)$ que satisfacen la ecuación$$x^2-xy+y^2=n$$es un número entero múltiplo de $6$. (Dicha cantidad puede ser $0$, que es múltiplo de $6$, pero hay que demostrar que no puede ser infinita.)
Sea [math]\theta = 1,3063778838... Para todo entero positivo [math]k se cumple que [math]\left\lfloor \theta^{3^k}\right\rfloor es un número primo.
Consideremos una grilla formada por triángulos equiláteros de lado [math]1.
Podemos asignarle a cada punto de la grilla unas coordenadas [math](x,y) como se ve en la figura:
hexagonos.png
Consideremos la circunferencia de centro [math](0,0) y radio [math]\sqrt{N} (en el dibujo [math]N=7).
Afirmo que la cantidad de soluciones de [math]x^2-xy+y^2=N es la cantidad de puntos de la grilla que están sobre la circunferencia.
En efecto, por el teorema del coseno, la distancia de un punto [math](x,y) al [math](0,0) es precisamente [math]\sqrt{x^2-xy+y^2}.
Si [math](x,y) es solución se tiene [math]x^2-xy+y^2=N y entonces [math]\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{N} por lo que el punto [math](x,y) está en la circunferencia.
Si tenemos un punto de la grilla [math](x,y) que está en la circunferencia se cumple [math]\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{N} luego [math]x^2-xy+y^2=N y [math](x,y) es solución.
Notemos que rotar [math]60^\circ con centro en [math](0,0) manda la circunferencia a si misma y los puntos de la grilla a puntos de la grilla.
Entonces manda las soluciones de [math]x^2-xy+y^2=N a soluciones de la misma ecuación. Esto parte al conjunto de las soluciones en grupos de a [math]6, más precisamente hexágonos regulares:
hexagonos2.png
Se sigue que [math]6 divide a la cantidad de soluciones.
Comentario: Lo que sigue es esencialmente la misma idea pero escrita con números complejos.
Sea [math]\omega=\frac{1-i \sqrt{3}}{2} ([math]\omega es una raíz sexta primitiva de la unidad).
Consideremos los números complejos de la forma [math]a+b\omega, con [math]a y [math]b enteros.
Se tiene [math]\left|a+ b\omega\right|^2=a^2-ab+b^2.
Luego las soluciones de la ecuación [math]a^2-ab+b^2=n se corresponden con puntos del plano complejo de la forma [math]a+b \omega con [math]a,\: b \in \mathbb{Z} tales que [math]\left|a+b\omega \right|=\sqrt{n}
Dividimos los puntos del plano complejo de la forma [math]a+b\omega en grupitos de [math]6 (salvo el [math]0 que queda solo) como sigue:
dos puntos [math]P, [math]Q están en el mismo grupo sii existe [math]n tal que [math]\omega^n P=Q.
Como [math]\left| \omega \right|=1 todos los elementos de cada grupito tienen la misma norma, luego si uno es solución los [math]6 son solución.
Esto muestra que la cantidad de soluciones es múltiplo de 6.
La intuición para esta solución tiene que ver con esto. Los grupitos de [math]6 puntos son hexágonos regulares centrados en el [math]0 (multiplicar por [math]\omega equivale a rotar [math]60^\circ).
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Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Consideremos una grilla formada por triángulos equiláteros de lado $1$.
Podemos asignarle a cada punto de la grilla unas coordenadas $(x,y)$ como se ve en la figura:
hexagonos.png
Consideremos la circunferencia de centro $(0,0)$ y radio $\sqrt{N}$ (en el dibujo $N=7$).
Afirmo que la cantidad de soluciones de $x^2-xy+y^2=N$ es la cantidad de puntos de la grilla que están sobre la circunferencia.
En efecto, por el teorema del coseno, la distancia de un punto $(x,y)$ al $(0,0)$ es precisamente $\sqrt{x^2-xy+y^2}$.
Si $(x,y)$ es solución se tiene $x^2-xy+y^2=N$ y entonces $\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{N}$ por lo que el punto $(x,y)$ está en la circunferencia.
Si tenemos un punto de la grilla $(x,y)$ que está en la circunferencia se cumple $\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{N}$ luego $x^2-xy+y^2=N$ y $(x,y)$ es solución.
Notemos que rotar $60^\circ$ con centro en $(0,0)$ manda la circunferencia a si misma y los puntos de la grilla a puntos de la grilla.
Entonces manda las soluciones de $x^2-xy+y^2=N$ a soluciones de la misma ecuación. Esto parte al conjunto de las soluciones en grupos de a $6$, más precisamente hexágonos regulares:
hexagonos2.png
Se sigue que $6$ divide a la cantidad de soluciones.
Comentario: Lo que sigue es esencialmente la misma idea pero escrita con números complejos.
Sea $\omega=\frac{1-i \sqrt{3}}{2}$ ($\omega$ es una raíz sexta primitiva de la unidad).
Consideremos los números complejos de la forma $a+b\omega$, con $a$ y $b$ enteros.
Se tiene $\left|a+ b\omega\right|^2=a^2-ab+b^2$.
Luego las soluciones de la ecuación $a^2-ab+b^2=n$ se corresponden con puntos del plano complejo de la forma $a+b \omega$ con $a,\: b \in \mathbb{Z}$ tales que $\left|a+b\omega \right|=\sqrt{n}$
Dividimos los puntos del plano complejo de la forma $a+b\omega$ en grupitos de $6$ (salvo el $0$ que queda solo) como sigue:
dos puntos $P$, $Q$ están en el mismo grupo sii existe $n$ tal que $\omega^n P=Q$.
Como $\left| \omega \right|=1$ todos los elementos de cada grupito tienen la misma norma, luego si uno es solución los $6$ son solución.
Esto muestra que la cantidad de soluciones es múltiplo de 6.
La intuición para esta solución tiene que ver con esto. Los grupitos de $6$ puntos son hexágonos regulares centrados en el $0$ (multiplicar por $\omega$ equivale a rotar $60^\circ$).
Cuando se emplea la solución con complejos, en realidad los números que hay que tomar son de la forma $a-b\omega$. Por si queda duda, notar que $\left|a+ b\omega\right|^2=a^2+ab+b^2$, y por otro lado $\left|a- b\omega\right|^2=a^2-ab+b^2$ que es la expresión que nos importa.
También notar que $\omega(a-b\omega)=b-(b-a)\omega$ (cuentas a cargo del lector) que es justamente lo que se hacía con la "transformación" de la última solución (al fin y al cabo se está rotando el punto 60°en sentido horario).