P2 N2 Metropolitana 2010

[bruno]

Hallar $14$ números enteros positivos distintos y mayores que $1$ tales que la suma de los $14$ números sea igual a $2010$ multiplicado por la suma de los inversos de los $14$ números.

Aclaración: El inverso de $a$ es $\frac{1}{a}$.

[No, manzana]

haaaaaaaaaaaa

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Sean, [math]a_1,a_2,...,a_{14} dichos enteros. Vease que [math]2010=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67, entonces tiene 16 divisores, los cuales 14 son divisores propios.

Como 2010 no es un cuadrado, para cada divisor[math]d de 2010, existe otro divisor [math]e de 2010 tal que [math]d \cdot e=2010, entonces si los 14 divisores propios son [math]a_1,a_2,...,a_{14} tales que [math]a_i \cdot a_{15-i}=2010 [math](1 \ge i \ge 7), de modo que:

[math]\displaystyle \sum^{14}_{i=1}{a_i} = \displaystyle \sum^{14}_{i=1}{\dfrac{2010}{a_{15-i}}} = \displaystyle \sum^{14}_{i=1}{\dfrac{2010}{a_i}} = 2010 \cdot \displaystyle \sum^{14}_{i=1}{\dfrac{1}{a_i}}

En donde la 14-upla [math]a_1,a_2,...,a_{14} cumple lo pedido.

[drynshock]

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Sean $a_1, a_2, \dots, a_{14}$ los números. Entonces:

$$a_1+a_2+\dots+a_{14} = 2010\bigg(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_{14}}\bigg)$$
$$a_1-\frac{2010}{a_1}+a_2-\frac{2010}{a_2}+\dots+a_{14}-\frac{2010}{a_{14}} = 0$$
$$\frac{a_1^2-2010}{a_1} + \frac{a_2^2-2010}{a_2}+\dots+\frac{a_{14}^2-2010}{a_{14}} = 0$$
$$\frac{(a_1^2-2010)a_2+a_1(a_2^2-2010)}{a_1a_2} + \dots + \frac{(a_{13}-2010)a_{14}+a_{13}(a_{14}^2-2010)}{a_{13}a_{14}} = 0$$
$$\frac{a_1^2a_2+a_2^2a_1-2010a_1-2010a_2}{a_1a_2} + \dots + \frac{a_{13}^2a_{14}+a_{14}^2a_{13}-2010a_{13}-2010a_{14}}{a_{13}a_{14}} = 0$$
$$\frac{(a_1a_2-2010)(a_1+a_2)}{a_1a_2} + \dots + \frac{(a_{13}a_{14}-2010)(a_{13}+a_{14})}{a_{13}a_{14}} = 0$$

Entonces el problema se reduce a encontrar $7$ pares de números $a_i, a_{i+1}$ tales que $a_ia_{i+1} = 2010$, pues en ese caso cada fracción se anula, dejándonos con $0=0$.

Para eso veamos que $2010 = 2.3.5.67$ de donde podemos ir armando "grupitos de factores" poniendo de un lado un factor y del otro tres, luego poniendo de un lado dos factores y del otro dos. Para que quede claro:

$2$ y $3,5,67$
$3$ y $2,5,67$
$5$ y $2,3,67$
$67$ y $2,3,5$
$2,3$ y $5, 67$
$3, 5$ y $2, 67$
$2, 5$ y $3, 67$

De esta manera, formamos $7$ pares distintos, tales que su multiplicación nos de $2010$, por lo tanto si tomamos $(a_1,a_2) = (2, 1005) ; (a_3, a_4) = (3, 670), \dots$ y así siguiendo, entonces construimos un ejemplo que funciona. Enunciando el ejemplo correctamente, tenemos:

$$(a_1, a_2, a_3, \dots, a_{14}) = (2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, 67, 134, 201, 335, 402, 670, 1005)$$