Regional 2014 N3 P2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Matías V5

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Regional 2014 N3 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 »

En un entrenamiento hay [math] atletas. Cada uno de ellos tiene en la camiseta un número entre [math] y [math] (cada número está en exactamente una camiseta). Al comienzo están todos parados. El entrenador va diciendo en voz alta y a intervalos regulares los números del [math] al [math], en orden creciente. Todos los atletas que tienen en su camiseta un número que es múltiplo del número dicho por el entrenador cambian su posición de parados a agachados y viceversa. Por ejemplo, el atleta que tiene el [math] en su camiseta cambia de posición cuando el entrenador dice [math], [math], [math], [math], [math] o [math].
Determinar cuántos atletas estarán agachados después de que el entrenador dijo todos los números hasta el [math] inclusive.
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CarlPaul_153
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Re: Regional 2014 N3 P2

Mensaje sin leer por CarlPaul_153 »

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La cantidad de divisores positivos de un n° es impar si, y solo si ese n° es cuadrado perfecto. (es facil de ver ya que si k divide a n tenemos n=kp con k y p distintos para todo n, k y p enteros positivos excepto con k=[math])
[math] es decir, hay 44 cuadrados perfectos menores que 2014, es decir quedan 44 atletas agachados.
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Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.
bruno
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Re: Regional 2014 N3 P2

Mensaje sin leer por bruno »

Es mi imaginacion o es una copia del problema clasico de los 100 lockers
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Matías V5

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Re: Regional 2014 N3 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 »

bruno escribió:Es mi imaginacion o es una copia del problema clasico de los 100 lockers
Nop, no es tu imaginación jajaja
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valeenWTF
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Re: Regional 2014 N3 P2

Mensaje sin leer por valeenWTF »

jaja de verdad era tan fácil :( ? soy de segundo nivel pero por desgracia rendí el tercero, este problema me mató... jaja,

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Gianni De Rico

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Re: Regional 2014 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Notemos que el proceso es equivalente a que el atleta cambie su posición cuando el entrenador nombra un divisor suyo. Cada atleta tiene dos posiciones posibles, agachado o parado, [math] o [math]. El número de veces que cambia su posición es binario, entonces lo que tenemos que hacer es contar los números con una cantidad impar de divisores, pero es conocido que estos números son los cuadrados perfectos [math], por lo tanto la cantidad de atletas que estarán agachados cuando el entrenador haya nombrado todos los números es [math]
Demostración [math]
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[math] Tomemos [math]. La cantidad de divisores de [math] es [math], que para que sea impar requiere que todos sus términos sean impares, y, por lo tanto, que todos los [math] sean pares, pero entonces [math] es un cuadrado perfecto.

[math] Tenemos que [math] es un cuadrado perfecto, por lo que todos los [math] son pares. Pero entonces todos los [math] son impares, y, por lo tanto, su cantidad de divisores es impar.
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Martín Vacas Vignolo
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Re: Regional 2014 N3 P2

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo »

Nunca había notado lo de "intervalos regulares" :lol:
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[math]
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