Selectivo Cono Sur - 2014 - Problema 1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
sebach

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Selectivo Cono Sur - 2014 - Problema 1

Mensaje sin leer por sebach »

En el pizarrón está escrito un número entero positivo [math]. En cada paso le borramos el último dígito [math] y denominamos [math] al número que nos queda, y a continuación, borramos [math] y escribimos en el pizarrón [math] (por ejemplo, si tenemos escrito [math], al cabo de un paso lo reemplazamos por [math]). Repetimos el procedimiento hasta que el número del pizarrón tenga un solo dígito. Hallar todos los enteros positivos [math] tales que al cabo de una cantidad finita de pasos el número de un dígito que se obtiene es el [math].
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3,14

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Re: Selectivo Cono Sur - 2014 - Problema 1

Mensaje sin leer por 3,14 »

Habiéndolo pensado muy rápidamente, puede ser que de:
Spoiler: mostrar
[math] donde [math] para toda [math] y [math]
?
Última edición por 3,14 el Mar 08 Abr, 2014 2:26 pm, editado 2 veces en total.
[math]
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Fran5

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Re: Selectivo Cono Sur - 2014 - Problema 1

Mensaje sin leer por Fran5 »

Spoiler: mostrar
Esto es "hola, somos el juraod y queremos ver quien conoce el criterio de divisibilidad por [math]"
Igual, el chiste es demostrar por qué pasa lo que pasa :D
Francamente, está muy bueno el problema
Esto fue lo que pude hacer :P
Spoiler: mostrar
De aquí en más, nos manejaremos con el conjunto [math] excepto cuando se aclare :D

Sea [math] un número primo
Supongamos que para algún entero [math] (que sabemos que existe) se tiene que [math]

Escribamos cada entero [math] de la forma [math] con [math]
Observemos el desarrollo decimal de [math]

[math]

Donde cada [math] es un dígito de [math] y [math] es la cantidad de cifras de [math]

Luego tenemos que

[math]
[math]
[math]

En particular tenemos [math] por el enunciado.

Luego, [math] y entonces [math] son [math] y [math] en algún orden.

Se concluye que todos los múltiplos de [math] cumplen la condición del enunciado
Como [math] es un número primo, no hay necesidad de ver qué pasa con sus divisores.
(por ejemplo, el criterio de [math] es aplicable a [math], pues tenemos [math] y entonces [math])
Última edición por Fran5 el Mar 08 Abr, 2014 8:21 pm, editado 3 veces en total.
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Re: Selectivo Cono Sur - 2014 - Problema 1

Mensaje sin leer por 3,14 »

Sí, en cuanto vi el problema me acordé de los criterios de divisibilidad por 7,13, etc. Había otro problema que se resolvía de forma similar pero no me acuerdo cuál. Creo que era un regional del nivel 2...
[math]
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Fran5

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Re: Selectivo Cono Sur - 2014 - Problema 1

Mensaje sin leer por Fran5 »

Al ver este problema me acorde a lo que JPablo y yo escribimos en este problema (http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f= ... 9715#p9713)
Parece "boludo" el problema, porque la solucion salta a la vista, pero bueno lo lindo es como llegar a ella :D
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CarlPaul_153
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Re: Selectivo Cono Sur - 2014 - Problema 1

Mensaje sin leer por CarlPaul_153 »

Fran5 escribió:[math]
[math]
[math]
Aquí se esta suponiendo que [math] lo cual no necesariamente es cierto.
Una solución:
Spoiler: mostrar
Si después de ejecutar [math] veces el procedimiento de la consigna obtenemos que [math], entonces es fácil ver que en el paso [math] estaban los números [math] o [math]. Entonces esto nos da un indicio suficiente para conjeturar que se puede con cualquier múltiplo de [math].
Sea [math]
Entonces, vamos a demostrar que si [math]
Teorema:
Spoiler: mostrar
Si b es un número entero no nulo y primo relativo con 10,
entonces, existe a un numero entero tal que para cualquier número natural
n, donde n = 10d+u; 0 ≤ u ≤ 9, se tiene que, b|n ←→ b|(d−au)

Demostración: Como b y 10 son primos relativos, entonces, el máximo común
divisor de ellos es uno, es decir, (b,10) = 1;
ahora por bezout, existen (x, y) ∈ Z×Z, tales que bx+ 10y = 1
si se hace y = −a, la ecuación anterior se transforma en bx = 10a+ 1
pero como n = 10d+u
entonces n = 10d−10au+ 10au+u
o sea que n = 10(d−au) +u(10a+ 1)
es decir n = 10(d−au) +u(bx)
o también n = 10(d−au) +b(ux)
por lo tanto b|n, si y solo si, b|10(d−au) y viceversa.
Como en este caso a=3, bx=10.3+1 de donde b=31.
Como 31 es primo, todos los N cumplen la condición del enunciado si, y solo si N es múltiplo de 31.
Nota: recomiendo mucho estos apuntes: http://www.usergioarboleda.edu.co/matem ... ilidad.pdf
Última edición por CarlPaul_153 el Mié 09 Abr, 2014 12:41 am, editado 1 vez en total.
Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.
usuario250

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Re: Selectivo Cono Sur - 2014 - Problema 1

Mensaje sin leer por usuario250 »

Una aclaración
Spoiler: mostrar
numero anterior a 0 tambien puede ser 124,155,186,217,248 o 279.
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Matías V5

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Re: Selectivo Cono Sur - 2014 - Problema 1

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Otra aclaración
Spoiler: mostrar
Demostrar que [math] es múltiplo de [math] si y sólo si [math] es múltiplo de [math] te dice que los números que no son múltiplos de [math] no son soluciones, pero todavía no está claro que desde cualquier múltiplo de [math] llegues a [math] (quizás podrías entrar en un ciclo o algo así). Hay que decir algo más.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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Re: Selectivo Cono Sur - 2014 - Problema 1

Mensaje sin leer por ktc123 »

Matías V5 escribió:Otra aclaración
Spoiler: mostrar
Demostrar que [math] es múltiplo de [math] si y sólo si [math] es múltiplo de [math] te dice que los números que no son múltiplos de [math] no son soluciones, pero todavía no está claro que desde cualquier múltiplo de [math] llegues a [math] (quizás podrías entrar en un ciclo o algo así). Hay que decir algo más.

Creo que hacés referencia a:
Spoiler: mostrar
que hay que demostrar que cada vez que aplicamos el procedimiento el número obtenido es menor, entonces con una cantidad finita de pasos ese número se va a ir reduciendo hasta llegar a cero. Demostración de ese hecho:

Si nuestro número inicial el [math] (siendo [math] un dígito, [math] y [math] números naturales), al aplicar el procedimiento vamos a obtener [math]. Si despejamos ocurre que [math]. Al ser [math] un dígito tiene que ocurrir que [math], que es lo mismo que [math], o sea [math].

Ahora remplazemos [math] en el valor absoluto: [math]. Al tener valor absoluto es necesario hacer una división en dos casos:

--> Si [math], sigue que [math]. Entonces habría que probar que [math]. Si desarrollamos sigue que [math] lo cual es cierto por lo dicho arriba.

--> Si [math] sigue que [math]. Entonces habría que probar que [math]. Si desarrollamos sigue que [math] lo cual es cierto por lo dicho arriba.

Con eso dicho concluimos la demsotracion.
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Vladislao

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Re: Selectivo Cono Sur - 2014 - Problema 1

Mensaje sin leer por Vladislao »

Un problema MUY relacionado (que lamentablemente no está subido en el foro, y que no puedo subir porque no tengo a mano el enunciado) es el Problema 2 de Nivel 2 del Provincial 2009.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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