Nacional 1996 nivel 3 - problema 1

[CarlPaul_153]

Se escribieron $100$ números alrededor de una circunferencia. La suma de los $100$ números es igual a $100$ y la suma de seis números consecutivos es siempre menor o igual que $6$. El primer número es $6$. Hallar todos los números.

[CarlPaul_153]

Primero notemos que si dividimos la circunferencia en grupos de [math]6, para que la suma de los [math]100 números sea [math]100, el promedio de cada grupo debe ser [math]6, ya que si hay un grupo de [math]6 números cuya suma es menor a [math]6, deberá haber otro cuya suma sea mayor a [math]6, y esto contradice la consigna.
Ahora, supongamos que ya tenemos definidos los [math]6 números que van de la posición [math]1-6; entonces en el grupo [math]2-7, la posición [math]7 debe ser igual a la [math]1. Análogamente, se puede concluir que los grupos de [math]6 que no se superponen cumplen un patrón.
Ahora, hay que notar que si dividimos los [math]100 números en grupos de [math]6 que no se superpongan, esto es: [math]1-6; 7-12; 13-18... debido a que [math]100 no es múltiplo de [math]6, el ultimo grupo será [math]97-2. Esto quiere decir, que en el patrón que ya habíamos especificado, el quinto número debe ser igual al primero, y el sexto al segundo.
por lo tanto el patrón sera de la forma: [math]a,b,c,d,a,b.
Como sabemos que la posición 1 es 6, el patrón será: [math]6,a,b,c,6,a.
Pero como el promedio de cada grupo debía ser igual a [math]6, tenemos que todas las soluciones son las que cumplen el patrón:
[math]6,a,b,c,6,a. para todo [math]2a+b+c=-6.
un ejemplo podría ser: [math]6, -6, 3, 3, 6, -6

[Fran5]

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Truco rapido para este tipo de problemas

Como [math](6;100)=2 (el MCD), se tiene que cada número se repite cada dos posiciones

Por tanto todos los quee stan en posiciones impares son [math]6 y lo que estan en posiciones pares son [math]\frac{100-50\times 6}{50}= \frac{-200}{50}= -4

[Fran5]

. Esto quiere decir, que en el patrón que ya habíamos especificado, el quinto número debe ser igual al primero, y el sexto al segundo.
por lo tanto el patrón sera de la forma: [math]a,b,c,d,a,b

Vos tenes a,b,c,d,a,b ... Pero fijate que despues de la secuencia del 96-2 tiene que ir un a,b,c,d,a,b (como es una circunferencia, esto es continuo).. Pero tenías que 3-4 eran c,d ... Por lo que resulta que a,b = c,d

Ahí esta el error, pues te queda c,d,a,b,c,d que es 3+3+6-6+3+3 = 12 que es mayor a 6

[CarlPaul_153]

tenés razón! debería haberme cerciorado que se cumpla bien el ciclo.
Me gustó eso que dijiste del mcd

[Hechicero]

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Truco rapido para este tipo de problemas

Como [math](6;100)=2 (el MCD), se tiene que cada número se repite cada dos posiciones

Por tanto todos los quee stan en posiciones impares son [math]6 y lo que estan en posiciones pares son [math]\frac{100-50\times 6}{50}= \frac{-200}{50}= -4

Alabado sea el FranG.

[usuario250]

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Tomar 4 consecutivos, agrupar los 96 restantes en 16 grupos de 6. esos 96 suman como mucho 96 (16*6), luego los 4 consecutivos que tomé suman mayor o igual a 4. eso vale para 4 consecutivos cualesquiera.
luego tomemos 12 numeros consecutivos a b c d e f g h i j k l
a+b+c+d>=4
e+f+g+h>=4
i+j+k+l>=4
luego la suma es mayor o igual a 12
a+b+c+d+e+f<=6
g+h+i+j+k+l<=6
luego la suma es menor o igual a 12
por lo tanto la suma es 12 y todas las desigualdades mencionadas son igualdades.
luego e+f=2.
como es para 12 numeros consecutivos cualesquiera dados dos numeros consecutivos, tomamos esos 2, los 4 anteriores y los 6 siguientes y queda que la suma de los 2 consecutivos es 2.
y así se llega a la solución.

[drynshock]

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Truco rapido para este tipo de problemas

Como $(6;100)=2$ (el MCD), se tiene que cada número se repite cada dos posiciones

Por tanto todos los quee stan en posiciones impares son $6$ y lo que estan en posiciones pares son $\frac{100-50\times 6}{50}= \frac{-200}{50}= -4$

¿Cual seria la justificación a esta afirmación que la versión joven de @Fran5 hizo?

[drynshock]

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Sea $a_1 = 6$ y $a_2, a_3, \dots , a_{100}$ los otros números, luego se cumple que:

$$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \leq 6$$
$$a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 \leq 6$$
$$\vdots$$
$$a_{100} + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \leq 6$$

Notemos que cada numero, entre todas las desigualdades, aparece exactamente $6$ veces. Luego, si sumamos todo se cumple que:

$$6(a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{100}) \leq 6.100$$
$$a_1 + a_2 + \dots + a_{100} \leq 100$$

Dado que la suma de los $100$ números es exactamente $100$, entonces $100 \leq 100 \Rightarrow 100 = 100$, luego para que la igualdad se cumpla, la suma de $6$ términos consecutivos ha de ser exactamente $6$.

Luego, podemos notar que si $a_i + a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3} + a_{i+4} + a_{i+5} = 6$ y $a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3} + a_{i+4} + a_{i+5} + a_{i+6} = 6$ entonces restando ambas se cumple que $a_{i} - a_{i+6} = 0 \iff a_{i} = a_{i+6}$. Lo cual nos deja que cada $6$ números se repite el mismo numero.

$$a_1 = a_7 = a_{13} = \dots = a_{97} = a_3 = a_9 = \dots = a_{99} = a_{5} = a_{11} = \dots = a_1$$

Finalizamos acá ya que se empieza a repetir el proceso. Ordenando un poco y recordando que $a_1 = 6$ sabemos que:

$$6 = a_1 = a_3 = a_5 = \dots = a_{99}$$

Lo cual nos deja con que todos los $a_{i}$ con $i$ impar son iguales a $6$. De igual manera, sabemos que todos los $a_i$ con $i$ par son iguales a otro numero. Podemos notar, WLOG, tomando $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 6 \Rightarrow 3.6 + 3.a_2 = 6 \iff a_2 = -4$ lo cual implica que:

$$-4 = a_2 = a_4 = a_6 = \dots = a_{100}$$

Podemos ver que la condición que nos pide el enunciado se cumple a la perfección. Luego, la única solución al problema es que los números se van alternando entre $6$ y $-4$ a lo largo de la circunferencia.

[Fran5]

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Truco rapido para este tipo de problemas

Como $(6;100)=2$ (el MCD), se tiene que cada número se repite cada dos posiciones

Por tanto todos los quee stan en posiciones impares son $6$ y lo que estan en posiciones pares son $\frac{100-50\times 6}{50}= \frac{-200}{50}= -4$

¿Cual seria la justificación a esta afirmación que la versión joven de @Fran5 hizo?

Es un criterio que se usa mucho principalmente en tableros y "números alrededor de una circunferencia"
Si hay una propiedad que se cumple siempre al tomar $N$ casillas consecutivas, entonces cuando "te movés $1$", la casilla "nueva" tiene que ser igual a lo que perdiste por la casilla "destapada"

Es lo que vos demostraste con la suma de $6$ consecutivos