Demostrar que para cualquier par de enteros positivos $k$ y $n$, existen $k$ enteros positivos $m_1,m_2,\ldots ,m_k$ (no necesariamente distintos) tales que$$1+\frac{2^k-1}{n}=\left (1+\frac{1}{m_1}\right )\left (1+\frac{1}{m_2}\right )\cdots \left (1+\frac{1}{m_k}\right ).$$
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore! Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Procedemos por inducción en [math]k.
Si [math]k=1, dado cualquier [math]n basta tomar [math]m_1 = n.
Supongamos que el problema vale para un cierto [math]k y veamos que también vale para [math]k+1, esto es: dado [math]n, queremos ver que [math]1 + \frac{2^{k+1} - 1}{n} se puede escribir como producto de [math]k+1 factores de la forma [math]1 + \frac{1}{m}. Analizamos dos casos según si [math]n es par o impar.
Si [math]n es par, escribimos [math]1 + \frac{2^{k+1} - 1}{n} = \frac{n + 2^{k+1} - 1}{n} = \frac{n + 2^{k+1} - 1}{n + 2^{k+1} - 2} \cdot \frac{n + 2^{k+1} - 2}{n}. El primer factor ya tiene la forma deseada. En el segundo factor podemos dividir numerador y denominador por [math]2, obteniendo así una fracción en la que el numerador y el denominador difieren en [math]2^k - 1. Por hipótesis inductiva, esta fracción se puede escribir como producto de [math]k factores de la forma [math]1 + \frac{1}{m}, logrando así nuestro objetivo.
Si en cambio [math]n es impar, escribimos [math]1 + \frac{2^{k+1} - 1}{n} = \frac{n + 2^{k+1} - 1}{n} = \frac{n + 2^{k+1} - 1}{n+1} \cdot \frac{n+1}{n}. Esta vez el último factor es el que ya tiene la forma deseada, y en el primero podemos dividir por [math]2 y aplicar la hipótesis inductiva.
Esto completa el paso inductivo, y la solución del problema. [math]\blacksquare
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore! Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Supongamos que para $n=N$ se pueden hallar los valores de $m_i$ para todo $k$.
$$1+\frac{2^k-1}{2n-1}=\left(1+\frac{2^{k-1}-1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{2n-1}\right)$$
$$1+\frac{2^k-1}{2n}=\left(1+\frac{2^{k-1}-1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{2^k+2n-2}\right)$$
Entonces, para $n=2N-1$ ó $n=2N$, sabemos que el primer factor de la primera o la segunda expresión lo podemos armar con $k-1$ factores $1+\frac{1}{m_i}$ (hipótesis inductiva), que multiplicado por el segundo factor (de la forma deseada), nos da el resultado deseado.
Además, es fácil notar que se pueden elegir los factores si $n=1$ y/o $k=1$.
Con todo esto, concluimos el resultado deseado.