Zonal N3 P1 2006

[JPablo]

Nacho escribió una progresión aritmética de primer término $101$ y diferencia $2$: $101,103,105,\ldots$.
Nico escribió una progresión aritmética de primer término $5$ y diferencia $10$: $5,15,25,\ldots$.
Las dos progresiones tienen la misma cantidad de términos y las dos progresiones tienen la misma suma. Determinar cuántos términos tiene cada progresión y cuánto vale la suma.

[sebach]

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Si tienen [math]c cantidad de términos, la suma de la primera progresión será [math]101*c + 2*[c*(c-1)/2] = 100*c + c^2. Lo de [math]2*[c*(c-1)/2] es porque del primer término al segundo suma [math]2, del segundo al tercero suma [math]2*2, del tercero al cuarto suma [math]2*3, y así hasta sumar [math]2*(c-1).
Y la suma de la segunda progresión será [math]5*c + 10*[c*(c-1)/2] = 5*c^2
Entonces tenemos que [math]100*c + c^2 = 5*c^2 \Rightarrow c=25
Entonces las progresiones tienen [math]25 términos y la suma es [math]5*25^2 = 3125.

[JPablo]

Se me ocurrió otra forma de resolverlo... Es un buen problema para practicar con sumatorias

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La suma de la progresión aritmética de Nacho puede expresarse como

[math]\sum_{k=50}^{x}\left ( 2k+1 \right )

Donde [math]x es una incógnita.

La suma de la progresión aritmética de Nico puede expresarse como

[math]\sum_{k=0}^{n}\left ( 10k+5 \right )

Donde [math]n es otra incógnita.

La progresión aritmética de Nacho tiene [math]x-50+1=x-49 términos, y la progresión aritmética de Nico tiene [math]n-0+1=n+1 términos. Por enunciado la cantidad de términos es igual en ambas progresiones, por lo que

[math]x-49=n+1

Lo cual nos permite expresar [math]x en función de [math]n:

[math]x=n+50

Así que reemplazamos en la progresión de Nacho y nos queda

[math]\sum_{k=50}^{n+50}\left ( 2k+1 \right )

Como ambas progresiones tienen la misma suma, podemos igualar las sumatorias y resolver la ecuación:

[math]\sum_{k=50}^{n+50}\left ( 2k+1 \right )=\sum_{k=0}^{n}\left ( 10k+5 \right )

[math]\sum_{k=50}^{n+50}2k+\sum_{k=50}^{n+50}1=\sum_{k=0}^{n}10k+\sum_{k=0}^{n}5

[math]{2\frac{\left ( n+50 \right )\left ( n+50+1 \right )-50\left ( 50-1 \right )}{2}+1\left ( n+50-50+1 \right )=10\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}+5\left ( n+1 \right )}

[math]\left (n+50 \right )\left (n+51 \right )-2450+n+1=5n\left (n+1 \right )+5n+5

[math]n^{2}+101n+2550-2450+n+1=5n^{2}+10n+5

[math]-4n^{2}+92n+96=0

[math]n=\frac{-92\pm \sqrt{8464+1536}}{-8}

[math]n_{1}=-1

[math]n_{2}=24

Elegimos el resultado positivo y entonces tenemos que la cantidad de términos será (teniendo en cuenta la sumatoria de Nico) igual a [math]n+1=24+1=25.

Ahora, para calcular la suma, basta con desarrollar alguna de las sumatorias esta vez conociendo el valor de [math]n:

[math]\sum_{k=0}^{n}\left ( 10k+5 \right )=\sum_{k=0}^{24}\left ( 10k+5 \right )=10\frac{24\left ( 24+1 \right )}{2}+5\left ( 24+1 \right )=3125

[Gianni De Rico]

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Las progresiones tienen [math]n términos, entonces tenemos [math]101n+2\times \frac{n(n-1)}{2}=5n+10\times \frac{n(n-1)}{2} resolviendo queda [math]101n+n^2-n=5n+5n^2-5n\Rightarrow 100n+n^2=5n^2\Rightarrow 100n=4n^2\Rightarrow n=25. Por lo que el último término de la progresión de Nacho es [math]101+2\times 24=149 y su suma es [math]\frac{(101+149)\times 25}{2}=\frac{250\times 25}{2}=\frac{25\times 10\times 25}{2}=25\times 5\times 25=5^2\times 5\times 5^2=5^5=3125