Nacional 2003- P5 N1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
bruno
Mensajes: 216
Registrado: Vie 17 Dic, 2010 12:50 am

Nacional 2003- P5 N1

Mensaje sin leer por bruno » Dom 04 Nov, 2012 4:15 pm

En el pizarrón hay escrito un número de [math] dígitos con los últimos tres dígitos de la derecha iguales a [math]. Debajo de este número, y usando exactamente los mismos dígitos, pero en otro orden, Luciano escribe un nuevo número de [math] dígitos: deja los tres últimos [math], e intercambia a voluntad los primeros [math] dígitos. Esta operación la repite una y otra vez, hasta tener escritos en el pizarrón [math] números de [math] dígitos. A continuación, suma esos [math] números, y al resultado lo divide por [math]. Calcular el resto de la división que hizo Luciano.

Agusanso

OFO - Medalla de Bronce
Mensajes: 87
Registrado: Mar 20 Mar, 2012 7:56 pm
Medallas: 1
Nivel: 2

Re: Nacional 2003- P5 N1

Mensaje sin leer por Agusanso » Dom 04 Nov, 2012 4:33 pm

Escribiria mi solucion si supiera usar bien Latex, me dio 45
Aguante el paco vieja

Avatar de Usuario
No, manzana
Mensajes: 67
Registrado: Jue 10 Mar, 2011 5:51 pm
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Cordoba x2
Contactar:

Re: Nacional 2003- P5 N1

Mensaje sin leer por No, manzana » Dom 04 Nov, 2012 6:38 pm

Spoiler: mostrar
Sea [math] los primeros 97 dígitos de izquierda a derecha del número escrito por luciano, [math] una permutación cualquiera de [math] y [math] la suma de los [math] números. Analicemos el resto de la suma en la división por 9 y por 8 separado. Empecemos con el resto en la división por 9, veamos que [math], y veamos que todos los números escritos en el pizarrón son de la forma [math]; entonces [math]; de donde [math]. Ahora analicemos el resto en la división por 8, observemos que [math] (con [math]), luego [math], de donde [math].

Finalmente, como [math] tiene resto 0 en la división por 9 y 5 en la división por 8 entonces tiene resto 45 en la división por 72.
[math], Posta!
Spoiler: mostrar
Sea [math] un real, veamos que: [math], entonces [math].

Avatar de Usuario
lichafilloy

Colaborador OFO - Mención OFO - Jurado OFO - Medalla de Bronce OFO - Medalla de Plata
Mensajes: 103
Registrado: Dom 02 Sep, 2012 12:51 pm
Medallas: 5
Nivel: 3
Ubicación: Quilmes

Re: Nacional 2003- P5 N1

Mensaje sin leer por lichafilloy » Lun 05 Nov, 2012 10:37 am

Por que si tiene resto [math] en la división por [math] y resto [math] en la división por [math] tendrá resto [math] en la división por [math] :
Spoiler: mostrar
Específicamente en este caso, vemos que [math], entonces [math] por lo que se respetaran las congruencias pedidas. Pero, en algún otro caso esta coincidencia no se dará. La otra forma de sacar el resto en la división por [math] es la siguiente:

[math] y [math]. vemos que [math] y [math] son coprimos, por lo que podemos calcular el inverso de [math] modulo [math].

[math]. Lo multiplicamos por [math] y tenemos que [math]

Entonces tenemos [math] como queríamos. Luego el resto de la división entre suma de los [math] números y [math] es [math].
Última edición por lichafilloy el Lun 05 Nov, 2012 12:05 pm, editado 1 vez en total.
Master de Rumania y paz mundial

tuvie

Colaborador OFO - Medalla de Oro FOFO 6 años - Medalla Especial OFO - Jurado FOFO 7 años - Jurado
FOFO 8 años - Jurado FOFO Pascua 2019 - Jurado
Mensajes: 593
Registrado: Dom 09 Sep, 2012 11:58 am
Medallas: 10
Nivel: Exolímpico

Re: Nacional 2003- P5 N1

Mensaje sin leer por tuvie » Lun 05 Nov, 2012 11:12 am

Primero lo clave es ver que cada numero se usa [math] veces, por lo que el resto en la division por [math] va a ser [math]. Despues te da los ultimos [math] numeros para el criterio de divisiblidad por [math] y te fijas que numero menor a [math], multiplo de [math], tiene resto [math] en la division por [math] y este es el [math].

Fran B
Mensajes: 5
Registrado: Mar 18 Jun, 2019 7:29 pm

Re: Nacional 2003- P5 N1

Mensaje sin leer por Fran B » Sab 12 Oct, 2019 1:34 pm

Sean $x_1,x_2,x_3, ..., x_ {99}$ los $99$ números. Como los dígitos de todos los números son los mismos, al calcular la suma de los dígitos de cada número, llamemosla $k$, vemos que $x_n \equiv k (mod. 9)$ para todo $n$. Luego, $x_1+x_2+...+x_99 \equiv 99k \equiv 9 \cdot 11k \equiv 0(mod. 9)$.
Luego, todo $x_n \equiv 999 \equiv -1(mod. 8)$, por lo que $x_1+x_2+...+x_{99} \equiv -99 \equiv 5(mod. 8)$.
Los números con resto $5(mod. 8)$ menores que 72 son 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, 61, 69, de los cuales el único múltiplo de 9 es el 45, por lo que el resto de la suma que hizo Luciano es 45.
1  

Responder